Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
168 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
При а0 > О, Ь0 > О и а0 > 2Ь0 устанавливаются периодические колебания с частотой кг, а при Ь0 < 2а0 — с частотой к2.
Рис. 5.26
При а0 > Ь0 > 0, а0 < 2Ь0 и при Ь0 > а0 > О, Ь0 <
< 2а0 в системе в зависимости от начальных условий могут установиться или периодические движения с частотой к1% или с частотой /с2.
§ 5. Неавтономные динамические системы с двумя степенями свободы [13]
В этом параграфе мы рассмотрим динамические системы, уравнения которых могут быть представлены в виде
Qi + + Bilt + п\Ч\ =
= р/ (<7i> (и <7а. (a) + Di sil1 * + cos t,
I 2 (5.84)
92 4" + ^2?1 "Г W2#2 “
= pg (?i, <?2, g2- <72) 4- sin t 4- e2 cos t,
где ^2» -^2) ^2 — постоянные
величины, /, g — нелинейные функции, p — малый параметр, характеризующий близость рассматриваемой системы к линейной.
§ 5] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 1(><)
Мы ограничимся рассмотрением случаев — когда нормальные частоты линейной системы далеки от частоты внешней силы и когда одна из нормальных частот линейной системы равна частоте внешней синусоидальной силы. Рассмотрим сначала случай, когда частоты линейной системы далеки от частоты внешней силы. При ц, = О решение системы (5.84) имеет вид
qx = a sin (kxt + рх) + Ь sin (k2t + 02) +
4- d, sin t 4- ел cos t,
q2 = ага sin (kxt + рг) + аф sin (k2t + p2) +
+ d2 sin t -f e2 cos t,
где a, b, и P2 — постоянные интегрирования, кхи k2 — нормальные частоты линейной однородной системы, определяющиеся из уравнения *)
ак4 — (п\ + щ — АхВ2 — А2В^) к2 + п{п\ — ВХВ2 = О (cr = 1 — A,A2), (5.86)
аг и а2 — коэффициенты распределения, определяемые выражениями
ос,
В2 п2 — к*
п2 — к^ Агк^ —• Bi
(5.87)
12'
а,
A,)cl — В2 nj — 1г,
a
A1kl-B1 ’
d„ —
Д * i— Д
Da (n\ - 1) - Di(Bt - A,) E2(n\- 1) - E\ (Bt - A2)
2 — Д 2 Д ’
A = a — (^i -{- ^2 — A\B2 — A2Bj) -j- 7i]Yi2 — В XB2, cr = 1 — AxA2.
При [i Ф 0 можно было бы искать решение уравнений
(5.84) в виде (5.85), считая а, Ь, рх и ра медленно меняющимися функциями времени. Тогда, поступая так же, как и в § 5 гл. 3, получили бы для определения а, Ь, рх и р2
*) Как и в § 5 гл..1, предполагаем, что кх и к2 не равны друг другу и ни один из них не равен нулю.
170 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
укороченные уравнения (5.57) и (5.58). Но так как в этом случае осреднение уже проводится по трем периодам 2л/кх, 2п/к2 и 2л,то имеющиеся в этих уравнениях Fy, . . ¦
. . ., Ft, Gy, . . Gt вычисляются по формулам
231 2Л 2Л
= 4^ S S J /* °os Idl dr\ dt,
ООО 2Л 2Л 2Л
^=4^-$ 5 5 /* <50S11<Z6<M*'
ООО 2Л 2Л 2Л
F*= 4^5 S J f* sin Z,d%dr\dt,
ООО 2Л 2Л 2Л
F* = ~Ш J J J /* sin т] d\ di\ dl,
ООО
2Я2Я2Я (5.88)
= ~4rf i i \ 8* cos s
0 0 0 2Л 2Л 2Л
S § g* cosr\dtdx\dt,
0 0 0 2Л 2Л 2Л
G* = 4^S S J jr*singdgdTid#,
0 0 0 2Л 2Л 2Л
Gi = ~Ш J J jj g* sin 14 drj df,
0 0 0
где
/* = / (a sin ? + 6 sin т) + sin ? + cos ?,
а/q cos | + bk2 cos t| + cos t — ex sin t,
otya sin | + a2b sin t] + d2 sin t + ег cos t,
aydky cos | + a2bk2 cos t] + d2 cos t — e2 sin t), g* = g (a sin | + b sin r) + sin t + cos t, (5.89) akx cos | + bk2 cos T] + dy cos t — ву sin t,
ctya sin | + a2b sin r) + d2 sin t + e2 cos t,
ctyaky cos \ + a2bk2 cos ц d2 cos t — e2 sin t),
I = kyt + Pi, f] = k2t -f- p2.
§ 5] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 171
Покажем, как уравнения (5.57) и (5.58) можно получить несколько другим способом. Будем искать решение уравнений (5.84) в виде
Qi = a sin (kxt -f рх) + b sin (k2t + p2) +
+ dx sin t ei cos t,
q2 = (a& + aa) sin (k^t + Pi + Vi) + (5.90)
