Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р’2Х (*о. Уо, Zo) Р2у (т0, Уо, Zo) — 5 p',z (х0, Уо, z0) = 0.
Рдд; (*0, Уо> Zo) ^ЭУ ^3Z ("^0’
В нашем случае это уравнение принимает вид
IE (Ь0 - 2R2) - S] [(а0 - 3R2) - S] [(в0 - Д2) - S] = 0,
180 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
где R2 = р. Корни этого уравнения равны
= Е (Ь0 — 2R2), S2 = а0 — 3R2, S3 = а0 - R2.
Особая точка будет устойчивой, если корни St, S2 и S3 будут отрицательными, следовательно, условиями устойчивости будут неравенства R2 Ь0/2, R2 ^> а0. На оси w, как это видно из уравнения (5.105), особых точек нет. Это означает, что при действии на генератор внешней силы с частотой р = кг периодическое движение частоты к2 невозможно. Особые точки, расположенные вне осей и соответствующие бигармоническим движениям, определяются уравнениями (5.105) и (5.106). Квадрат амплитуды этих движений равен
R2 = w + р = Ь0 — р.
Если это выражение подставить в уравнение (5.105), то получится уравнение резонансной кривой
(Ь0 - R2) {а0 + Ь0- 3R2)2 = 16*,?. (5.108)
Так как w = b0 — 2р, R2 = Ь0 — р, то уравнение (5.108) имеет смысл только для Ь0/2 < R2 <; Ь0.
Характеристическое уравнение для этих движений имеет вид
(S - а0 - Ь„ + ЗД2) {S2 + SIE (2R2 - Ь0) +
+ Ь0 - а0 + Л2] + Е (2R2 - Ь0) №2 - (а0 + 760)]}= 0.
Из этого уравнения следует, что для действительных движений (R2 Ь0/2) при R2 (а0 + 760)/9 особые точки
будут устойчивы.
Уравнение резонасной кривой периодических движений (5.107) может быть занисано в виде
R2 (а0 _ R2)2 = 16Х? или у (а0 — у)2 = х, (5.109)
где у — R2 0, х = 16^> 0. Рассмотрим плоскость ху. На основании формулы (5.109) получаем
dy ___________1_______
dx (а0 — у) (а0 — 3у)
Отсюда следует, что кривая (5.109) имеет вертикальные касательные в точках х — 0, у = а0, хг = 4 (а0/3)2, уг —
§ 5] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 181
= а0/3, кроме того, при х — 0 у = 0 или у = а0. При а0 < 0 кривая (5.109) вертикальных касательных не имеет, так как всегда х > 0, у 0.
Уравнение резонасной кривой бигармонических движений в тех же обозначениях имеет вид
(Ъ0 — У) (ао + Ь0 — 3yf = х. (5.109')
При х = 0 у = Ь0 или у = (а0 + &0УЗ. Из выражения (5.109') следует, что
dy ______________1 ______
dz (а0 + Ьа — 3у) (9у —- а0 — 760) *
Следовательно, кривая (5.109') имеет вертикальные касательные в точках
х = 0, у = -^±^- и x2 = ±(2b0~a0f, уъ=«. При Уз = Ьа/2
х3 = -^(2 а0-Ь0)*.
Рассмотрим теперь состояния генератора при изменении амплитуды внешнего воздействия. Так как х — 16^,
то изменение х характеризует и изменение Приведем несколько характерных случаев.
1. аоСЛ, b0 < 0 или а0 0, Ь0 < 0. Геператор совершает периодическое движение с частотой р = кх. Бигармонических движений нет. Эти случаи представлены соответственно на рис. 5.28 и 5.29.
182 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
2. а0 <с О, Ь0 > 0. Здесь возможны два варианта: у2 <Z
< у3, когда 2а0 + 560 <0, и > у3, когда 2а0 + + 5Ь0 > 0;
а) Уг < Уз (2^0 + < 0)- Генератор при х < хъ со-
вершает бигармоническое движение с частотами р — кг и к2, при х х3 будет только гармоническое движение частоты р — кх (рис. 5.30).
б) у2 у3 (2а0 + 5Ь0 0). Устойчивое бигармони-
ческое движение возможно при х <с ха. Периодическое с
частотой р = кг возможно при х ?3. Таким образом, здесь возможно затягивание по ? в промежутке х3 < х < х2 (рис. 5.31).
3. 0 <; Ь0-< а0/2. Этот случай в отношении устойчивых движений совпадает со случаем aQ 0,
ь0<о.
4. 0 < а0 < Ъ0/2. Этот случай представлен на рис. 5.32. При х <Z хз возможно устойчивое бигармоническое движение с
возможны
Рис. 5.32
частотами р = кх
при x3<L х <С. х2
как бигармоническое движение с частотами р = = кг и к.,, так и периодическое движение с частотой р = kv При х х2 возможно только периодическое движение с частотой р — kv
§ 6] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 183
5. 2а0 Ь0^> 0. Ззесь при х < х2 возможны устойчивое бигармоническое движение с частотами р = кх и
Рис. 5.33 Рис. 5.34
к2 и периодическое с частотой р = кх; при х х2 — только периодическое с частотой р — кх (рис. 5.33).
6. 2&о^>ао^>0. При х<^х2 возможны устойчивое бигармоническое движение с частотами р = кх и к2 и периодическое с частотой р = кх; при х х2 возможно только периодическое движение с частотой р = кх (рис. 5.34).
§ 6. Неавтономные динамические системы с гироскопическими силами [10, 11, 7]
Пусть уравнения динамической системы имеют вид
9i — Xi'ga ± п\qx = (я/ (gx, qx, q2, д2) +
+ Dx sin t + Ех cos t, (5.110)
+ «251 ± = |J.g (gi, q2, q2) +
