Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
для точки Р3 Sx -¦ В (2а0 + bQ - 2е3), S2
А (а0 — 2е2);
S2 + (Ащ — Bv4) S Н_ 3ABu4vt = 0.
Auz — Bvt 0 или — ]>а',
где
<1,
откуда условие устойчивости точки Р4 может быть записано в виде
0Л2 ^ 2 I Ь0 I — а0 — а' (2а„ — | *о I)
196 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Н. Н. Баутин показал, что уравнения (5.128) предельных циклов не имеют и при смене устойчивости точка Pt будет центром. Для достаточно больших и ш v, в силу положительности А я В, du!dxt ¦< 0, dvldx^ 0. Таким образом, положение и характер собых точек определяются значениями величин а0, Ъ0 и е. Меняя параметры динамической системы, можно получить различные значения а0 и Ь0, следовательно, и различные режимы движения системы.
В качестве параметра, характеризующего изменение параметров системы, можно взять отношение парциальных частот ? = n2,lnl. Из уравнения для определения к\ и к\ имеем
к\ — ~2 [— (И1 + ге2 — *i*2) — ^ ini + — и^)2 ~
(5.130)
к\ = [ — [п\ + п\ — XiX2) И- )Г(п\ + п\ — ххх2)2 —
Так как
а«= Зр="(1 ~ X fc|+na)’
5о==~зг(1"я^Га')= ~w[i~k *2+л2)’
К
y-lV-2______________ n2 ; _______________________ У'РК
'i « Л1Л2 "2 -i л_ 0 п\ ’ п\ ~ (*'-y")Ph2‘
_ 1\<>2 r _ а°— „а ’
то, используя (5.130), перепишем а0 я Ь0 в виде
«О = з|г [i - МШ, ь0 = - [1 - yv(?)],
где
^ (go — 1) е ч-1 ч- у^[с (до — 1) — I]3—
(до + 1) — 1 +1/ ?Е (До — 1) — I]3 — 4-
- >• (Зо-1) 5 + 1- УК (До-1)-!]»-*5
(30 + 1)5-1-V[?(«o-l)-l]*-4C
Мы рассматриваем только те значения nl, п\, хх и х2, при которых к[ и kl будут действительными и положи-
§ 6] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 197
тельными, т. е. когда консервативная система стабилизирована гироскопом. В нашем случае это будет для ? ?0,
где
<- _ Зо 1 -[- 2 о
(За - 1)3 ‘
На рис. 5.38 (для < 1) и Рис- 5.39 (для к0 1) по-
3(5" ЗВ"
строены графики zx = —а0 (?) и z., — —Ьи (L) при фиксированных значениях сг() и Х0. Отметим, что при изменении о0 качественный вид графиков не меняется. Эти графики позволяют установить возможные соотношения меж ду а0 и Ь0 при различных значениях ?.
Рассмотрим подробно случай, когда 1 < ? < ?i (рис. 5.38). В этом случае а0 ^> О, Ь0 < 0, ] Ь0 | > а0, 2а0 ^>
> I Ьо I-
Для точки Р1 корни характеристического уравнения будут действительными отрицательными при а0 < 2е2 <
< | Ь0 |. При других значениях е2 точка Рх будет седлом.
Точка убудет существовать, если | Ь0 | — 2е2 0, но
при этом корни характеристического уравнения будут действительными разных знаков, т. е. точка Р2 будет седлом при любых значениях е2. Это значит, что для данных значений ? в системе устойчивых движений с частотами кг (при е = 0) и и q (при е Ф 0) не может быть.
Точка Ра будет существовать, если а0 — 2е2 ^>0. При 2а0 — | Ь0 | > 2е2 > 0 корни Sх >-0, S2 < 0, т. е. Р3 — седло; при а0 > 2е2 > 2а0 — | Ь0 | корни Sx < 0, S2 < 0,
198
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [М. 5
т. е. точка Р3 — устойчивый узел (так как оси и и v являются интегральными кривыми).
Точка Рц существует, если
а0 - 2| Ь0 | + 2е2 < 0, 2а0 - | Ъ0 | - 2ег > О,
т. е. только для 2е2 < 2а0 — | Ь0 |.
Точка Р4 будет устойчивым фокусом или устойчивым узлом при 2а0 — | 60 | ^> 2е2 0.
Таким образом, в рассматриваемом случае при отсутствии внешней силы (е = 0) система совершает устойчивое
бигармоническое движение с частотами кх и к2.
При наличии внешней силы, при 2а0 — —| Ь0 |>2е2_> 0 система совершает устойчивое тригармоническое движение с частотами klt к2 и q (частота внешней силы).
При а0 2е2 ]> 2а о — | Ь0 | система совершает устойчивое бигармоническое движение с частотами к2 и д.
При | Ь0 |>2е2> а0 система совершает периодическое движение с частотой внешней силы.
При 2е2 ]> | Ь0 | система становится неустойчивой.
На рис. 5.40 приведены картины фазовой плоскости uv. На рис. 5.41 представлены графики соответственно суммы квадратов амплитуд тригармонического движения
711 , о Ц- I ^0 I —'
+ vi + ei =-----LyJ----, суммы квадратов ам-
плитуд бигармонического движения R\ = и3 + е2 = а0 —
— е* и периодического движения Я2 = ег.
В табл. 4 приведены другие случаи, когда в системе возможны устойчивые движения. Эти движения возможны при < 1. При 1 в системе устойчивых режимов не
