Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
рис. 5.37 положения кольца, h2 — расстояние от центра тяжести системы (без груза) до рельса, Q' sin qt — внешняя сила, действующая на вагон.
Вводя обозначения
/со /со ч phi 2 PJl2 ,
» «2 — г 1 — 1 ) щ — j 1 ^ —' qt
Ло 1 о Jo
и принимая
[а- - V (-§)’] -* _ [.¦ - НУ (-*)*] ? (а'>0, Р'>0),
перепишем уравнения движения в виде
d3a Xi dp __ ni ____ у’ da ,
di2 q dx ?a * -^off dt
+ iiy-IV
______y’ 1 Q' -in T
dx2 + q dx q* P— /0g dt + /0ga S
Предположим, что вязкое трение, а также момент Ма
малы по сравнению с моментами сил инерции при парциальных колебаниях, т. е. что безразмерные величины удовлетворяют условиям
А? ^ ’ /о* ^ ’ Aff ^ ’ ‘>о '
Если ввести в рассмотрение малый параметр
а> — V" \ п
I*—зсйг->°*
характеризующий близость системы к линейной, и обозначения
_ Xi _
«1 -- g > Х2
Р = а' !!_ у" У’
то уравнения движения окончательно примут вид
(5.126)
х2 *1 О
Т’ И1=1Г* -2 П2
1 --- 4>v' *
/V - /0 (а' --- у")
d2a <Л -2 --- Г da
dx2 --- «1- dx - И10С=р?1 | dx
d2P + й2 da - Й2Р = ( - X
rfT2 dx
-) +Q*
dX 1 г v Sin Т.
7 Н, В. Бутенин и др.
194 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Уравнения (5.126) записаны в форме уравнений (5.110). Если решение этой системы искать в виде
а = a sin (кгх + рг) + Ъ sin (к2т + Р2) + е cos т,
(5.127)
Р = а,а cos (kjX + р2) + а2b cos (?2т + Р2) + d sin т, где
„ ____ kt+ ni ____ *sAi „ Ч + ni _ x2fc2
. 1 - _ л .1 ? О-о
х1^2 4- nl “ -j- п2
и А*2 (fe2 &i) — корни уравнения
+ (^1 + + «М = 0 (^<7 —
?4 + К + «1 — Я1Я2) <7а + <?g2 (д2 + и-) ¦
d = -
91 + К + «2 — *1*2) Ч* + п\п^ то уравнения (5.112) будут
-^г- = Аи(а0 — и — 2v — 2с2),
-^- = Bv(b0 + v + 2u + 2e*), (5.128)
Pi = const, р2 = const,
где
/c2fc2 _ fe?a2
U = ¦
2 >0, v=-L->0,
3 р(^ + п5) зр (Л? + »и
А =------------, В -
2 га2 2«j
an = -4-(l — Ь„ =----------4-(l— Я-^-a2'
0— Зр х2 2J’ Зр \ ‘ -^2 1)'
finfr
Щ-Ц)
Значения и и v, соответствующие особым точкам уравнений (5.128)-, найдем из уравнений
Аи (ап — и — 2v — 2е2) = 0,
Bv (b~+ 2и + v + 2е2) = 0. (5Л29)
§ 6]
НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
195
Особые точки будут PL: их — 0, — 0. При е = 0 эта
точка соответствует состоянию равновесия исходной системы; при е Ф 0 — движению с частотой q внешней силы.
Особая точка Р2: и2 = 0, v2 — —b0 — 2е2. При е = О точка Р2 соответствует периодическому движению с частотой /с*; при е Ф О — бигармоническому движению с частотами кг и q.
Особая точка Р3: и3 = а0 — 2е2, v3 = 0. При е = 0 точка Р3 соответствует периодическому движению с частотой к2; при е Ф 0 — бигармоническому движению с частотами к2 и q.
Особая точка Р4: ui — —113 (а0 + 2b0 + 2е2), vi = = V3 (2а0 + b0 — 2е2). При е = 0 точка Р4 соответствует бигармоническому движению с частотами кг и к2\ при е Ф ф 0 — тригармоническому движению системы с частотами кх, к2 и q. Корни характеристического уравнения, определяющие характер особых точек, будут:
для точки Рг Sx = А (а0 — 2е2), S2 — В (bn + 2б>2); для точки Р2 St = А (а0 + 2b0 + 2е2), S., —
для точки Pt характеристическое уравнение будет иметь вид
Если точка Pt существует, то ui 0 и у4 0 и, следовательно, 3ABuivi 0, т. е. действительных корней раз-
ных знаков характеристическое уравнение иметь не будет. Таким образом, точка _Р4 будет особой точкой типа узла или фокуса. Для того чтобы Р4 была устойчивой особой точкой, нужно, чтобы действительные части корней характеристического уравнения были отрицательны, т. е. должно выполняться неравенство
В (Ьй 2е2);
