Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
fli cos t — a2 sin t -f- bk2 cos ?, a 1a1 sin i -f- axa2 cos t -f- аф sin E,
ajfl! cos f — aj«2 sin t + <хфк2 cos ?, ?)•
В качестве примера рассмотрим теорию «вынужденных» колебаний в сложном генераторе, разработанную А. Г. Маейром [21]. Пренебрегая сеточным током, можем
174 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
написать для двух контуров, схема которых представлена на рис. 5.27, уравнения Кирхгофа в виде
+ '¦A + jfr S + "тг +
(5.96)
1^ЧГ + r‘^2 + ^ J Нdt = N.
О
Вводя обозначения
t t
v1 = -g-^i1dt, v2 =-^-<\)i2dt о о
и принимая в качестве характеристики лампы кубическую параболу
где S — так называемая крутизна характеристики лампы, к — напряжение насыщения, перепишем уравнения (5.96) в виде
*1 + n\vi — NC2n\v2 = P0nt sin pt +
+ n\(^MS~r1C1~MS^-)v1, (5.97)
v2 + n\v„ — NC1nfiii1 = — r2C2n\v2,
где n\ = 1/(Z/1C1), nl = 1 /(L2C2). Вводя безразмерное время т = pt, безразмерные переменные
__ i>i -| /~ MS _ 1>2 1 /~ MS
qi ~ ТГ V MS — rjCj ’ ?2_Т К MS — г1С1
и безразмерные параметры
§ 5] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
приведем уравнения (5.97) к виду
di4i „ + filqi _ % Sin т + ц (1 — q\)
*1
dx2
dt4
d2<72 , -2 <i?2
-3?------*»-Si-+
dgi dt ’
175
(5.98)
где «1 = nl/p2, «2 == n|/p2. Примем, что ц есть тот малый параметр, который характеризует близость рассматриваемой системы к линейной
LW
* Uz S~\
(так как ц = (MS— г^С^) — ’
то рассматриваемая здесь теория теряет смысл, если р достаточно мало).
Рассмотрим сначала случай, когда частота внешней силы далека от обеих нормальных частот однородной системы. Будем искать решение системы (5.98) при р, Ф 0 в виде
q1~a sin (?хт + Рх) + & sin ()с2х + Р2) + sin т> q% — ага sin (^т + Рх) + аф sin (й2т + |32) + d2 sin т, где
г к2 X (п\ -1)
PgSinpt Рис. 5.27
(5.99)
к, = ¦
й. = -Ь., а —
р о — (^? Ч- «*) + й*я|
Хх2
а-(^ + й22) + й2п2
(а = 1 — XjXj),
ки к2 (к2 ^> кх) — корни уравнения для определения нормальных частот линейной системы
ак* — (nl + п%)к2 + п\п\ = О,
из которого следует, что к\ > п\, к\ > п\, к\ < nl, к\ <
< п\• Уравнения (5.57) при этом будут иметь вид
‘ " 2^),
(5.100)
-^г- — Аи(а0 —и —2v-
dv
dx
==Bv(b0 — 2u — v — 2dj),
17fi
КН АЗИЛИПКЙНЫР, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
(ГЛ. 5
где
v U2 Л JL JL П'г kl \ О
и-Ь ’ А- 4 а /с2_/с2 >и’
Д = -L
4 з Щ-к\
‘2 1 2 I *2 2
4Г^, ,о = 4 —
-i-ч
Из уравнений (5.58) следует, что Pj = const, р2 = const. Введем обозначения:
а о = а0 — 2dl, ро = b0 — 2d\. (5.101)
В соответствии с уравнениями (5.100) особые точки находятся из уравнений!
и (а0 — и — 2v) = 0, v (ро — 2и — и) = 0.
Так как и ==а2 и v = b2, то мы будем рассматривать только первый квадрант плоскости ии. Особые точки будут
Рх: их — 0, = 0;
Р 2- ^2 = ^2 = Ро>
Рз- и3 = сс0, i>3 = 0;
Р4: ы4 = Vз (2р„ а0), i>4 = 1/3 (2а0 — ро).
Уравнения (5.100) при обозначениях (5.101) имеют вид уравнений (5.82), поэтому приведенные исследования характера особых точек для уравнений (5.82) справедливы и для уравнений (5.100). Из выражений (5.99) следует, что точка Рх соответствует для исходной системы движению с частотой внешней силы, точка Р2 — движению с двумя частотами к2 и р, точка Ря — движению с двумя частотами кх и р, точка Р4 — движению с тремя частотами р, кх и к2. Но, как ранее было показано (с. 173), эта особая точка неустойчива, следовательно, движение с тремя частотами неустойчиво.
Характер особых точек при различных значениях d\ показан в табл. 3. На рис. 5.26 показана картина фазовой плоскости.
Из рассмотрения этой табл. 3 легко получить как бифуркационные значения параметров^ так и характер из-
НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
177
менения стационарных движений генератора при увеличении амплитуды внешнего воздействия.
В случае 1 генератор из состояния покоя при dx = О переходит при ^]>0к периодическому движению с частотой внешней силы.