Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 58

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 125 >> Следующая


fli cos t — a2 sin t -f- bk2 cos ?, a 1a1 sin i -f- axa2 cos t -f- аф sin E,

ajfl! cos f — aj«2 sin t + <хфк2 cos ?, ?)•

В качестве примера рассмотрим теорию «вынужденных» колебаний в сложном генераторе, разработанную А. Г. Маейром [21]. Пренебрегая сеточным током, можем
174 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5

написать для двух контуров, схема которых представлена на рис. 5.27, уравнения Кирхгофа в виде

+ '¦A + jfr S + "тг +

(5.96)

1^ЧГ + r‘^2 + ^ J Нdt = N.

О

Вводя обозначения

t t

v1 = -g-^i1dt, v2 =-^-<\)i2dt о о

и принимая в качестве характеристики лампы кубическую параболу

где S — так называемая крутизна характеристики лампы, к — напряжение насыщения, перепишем уравнения (5.96) в виде

*1 + n\vi — NC2n\v2 = P0nt sin pt +

+ n\(^MS~r1C1~MS^-)v1, (5.97)

v2 + n\v„ — NC1nfiii1 = — r2C2n\v2,

где n\ = 1/(Z/1C1), nl = 1 /(L2C2). Вводя безразмерное время т = pt, безразмерные переменные

__ i>i -| /~ MS _ 1>2 1 /~ MS

qi ~ ТГ V MS — rjCj ’ ?2_Т К MS — г1С1

и безразмерные параметры
§ 5] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

приведем уравнения (5.97) к виду

di4i „ + filqi _ % Sin т + ц (1 — q\)

*1

dx2

dt4

d2<72 , -2 <i?2

-3?------*»-Si-+

dgi dt ’

175

(5.98)

где «1 = nl/p2, «2 == n|/p2. Примем, что ц есть тот малый параметр, который характеризует близость рассматриваемой системы к линейной

LW
* Uz S~\
(так как ц = (MS— г^С^) — ’

то рассматриваемая здесь теория теряет смысл, если р достаточно мало).

Рассмотрим сначала случай, когда частота внешней силы далека от обеих нормальных частот однородной системы. Будем искать решение системы (5.98) при р, Ф 0 в виде

q1~a sin (?хт + Рх) + & sin ()с2х + Р2) + sin т> q% — ага sin (^т + Рх) + аф sin (й2т + |32) + d2 sin т, где

г к2 X (п\ -1)

PgSinpt Рис. 5.27

(5.99)

к, = ¦

й. = -Ь., а —

р о — (^? Ч- «*) + й*я|

Хх2

а-(^ + й22) + й2п2

(а = 1 — XjXj),

ки к2 (к2 ^> кх) — корни уравнения для определения нормальных частот линейной системы

ак* — (nl + п%)к2 + п\п\ = О,

из которого следует, что к\ > п\, к\ > п\, к\ < nl, к\ <

< п\• Уравнения (5.57) при этом будут иметь вид

‘ " 2^),

(5.100)

-^г- — Аи(а0 —и —2v-

dv

dx

==Bv(b0 — 2u — v — 2dj),
17fi

КН АЗИЛИПКЙНЫР, ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

(ГЛ. 5

где

v U2 Л JL JL П'г kl \ О

и-Ь ’ А- 4 а /с2_/с2 >и’

Д = -L

4 з Щ-к\

‘2 1 2 I *2 2

4Г^, ,о = 4 —

-i-ч

Из уравнений (5.58) следует, что Pj = const, р2 = const. Введем обозначения:

а о = а0 — 2dl, ро = b0 — 2d\. (5.101)

В соответствии с уравнениями (5.100) особые точки находятся из уравнений!

и (а0 — и — 2v) = 0, v (ро — 2и — и) = 0.

Так как и ==а2 и v = b2, то мы будем рассматривать только первый квадрант плоскости ии. Особые точки будут

Рх: их — 0, = 0;

Р 2- ^2 = ^2 = Ро>

Рз- и3 = сс0, i>3 = 0;

Р4: ы4 = Vз (2р„ а0), i>4 = 1/3 (2а0 — ро).

Уравнения (5.100) при обозначениях (5.101) имеют вид уравнений (5.82), поэтому приведенные исследования характера особых точек для уравнений (5.82) справедливы и для уравнений (5.100). Из выражений (5.99) следует, что точка Рх соответствует для исходной системы движению с частотой внешней силы, точка Р2 — движению с двумя частотами к2 и р, точка Ря — движению с двумя частотами кх и р, точка Р4 — движению с тремя частотами р, кх и к2. Но, как ранее было показано (с. 173), эта особая точка неустойчива, следовательно, движение с тремя частотами неустойчиво.

Характер особых точек при различных значениях d\ показан в табл. 3. На рис. 5.26 показана картина фазовой плоскости.

Из рассмотрения этой табл. 3 легко получить как бифуркационные значения параметров^ так и характер из-
НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

177

менения стационарных движений генератора при увеличении амплитуды внешнего воздействия.

В случае 1 генератор из состояния покоя при dx = О переходит при ^]>0к периодическому движению с частотой внешней силы.
Предыдущая << 1 .. 52 53 54 55 56 57 < 58 > 59 60 61 62 63 64 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed