Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4. Автономные системы с гироскопическими силами [9]
В этом параграфе рассматриваются квазилинейные динамические системы с двумя степенями свободы при наличии гироскопических сил. Уравнения движения такой системы в общем случае имеют вид
anii "Ь а12Яъ "Ь с\гЧг dr cn4i ~Ь ^12( 2 = V-fi {hi (i> Яъ> ( г)>
anQl + fl22?2 + C12<ll dr C2a?2 + ^21^1 = V&l {lu ( it 121 (2)»
где = ^21*
Если координаты qx и q2 будут нормальными координатами, то уравнения движения запишутся в более простой форме
anQi ^21^2 dr cn4i ~ M'/i {Чъ (i! Я21 (2)) аггЧг "Ь ^21^ l i ~ {4it (ii ( 2)-
Поделив первое уравнение на ап, а второе на а22, получим
Qi — Xi'ta + (dr пЬ 9i = flf (?ь (1, ?2. <2), ^ щ
$2 + X2( 1 + (dr nl) Чг = (Ql» ( li ?2> ( 2)1
При fi = 0 система (5.75) имеет решение
qt = a sin (kxt + ^) + b sin (k2t + P2), q2 — axa cos (k±t + р2) + a2b cos (k2t + |i2), ^
где частоты кг и к2 являются корнями уравнения
&4+ [(“f-^i) "Ь {г\~пъ) — ххх2] к2 -(- — 0. (5.77)
где
ni = ——
2
С11
Яц
§ 4] СИСТЕМЫ С ГИРОСКОПИЧЕСКИМИ СИЛАМИ 163
Коэффициенты распределения а1 и а2 определяются формулами
(+ nl) + *1 ____ x2A:i
— (If „!)+** *
(+ *;) + Ч ък2 (5-78)
0,-2 (+«22) + *Г
Решение системы (5.75) при ц, Ф 0 будем искать в виде (5.76), считая а, Ъ, и [32 медленно меняющимися функциями времени. Проделав выкладки, аналогичные проделанным в предыдущем параграфе, получим для определения а, Ъ, и р2 следующие приближенные уравнения *): - 1
dx „з \ 1 1 «1
- -?• *’*) - (5>79) ^=dSr(XlGs + ‘ST/V
dx ' Ьп\\ 1 4 «а
М'И?* о о
(/4>^
zji zji <s«n
= "i J J /* cos 5 dil, = 2^- J J **sing d| dr],
0 0 0 0
2Я 2Я 2Я 2Я
1 S S /* cos r) d^ dt), G2=2^5-^ ^ g* sin r] d? dr],
(5.80)
2n2
0 0 0 0
2Я 2Я 2Я 2Я
^3 = ^r{j 5 /*sin5d?dti, G3 = -^r$, jj g*cos?d|d^,
0 0 0 0
2Я 2Я 2Я 2Я
S /* sin ti d! dri, G4 = ^ J J g* cos rj dE dt],
0 0 0 0
>) При выводе уравнений (5.79) использованы соотношения
kl — к] (Щ — кЪ aia2
а 2&2 — aifci = —--------- и ct2A:i — ai&2 = —---------------- -------•
Xi х2
6*
164
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
/* = / (a sin ? + h sin т], акх cos ? + bk2 cos х\,
аха cos ? + а2Ъ cos n, — ахакх sin ? — a.2i/c2sin j]), U* = ё (а si11 ? + b sin ^1* a^i cos 5 + bk2 cos >|,
аха cos ? + a.2b cos ;i), — ахакх sin ? — a2bk2 sin r|), ? = + Pi, j| = k2t + р2.
Рассмотрим колебания плоского гироскопического маятника, изображенного на рис. 5.25, предполагая, что на кожух гироскопа действует специальный момент, создаваемый с помощью асинхронного мотора [16].
Пусть а — угол отклонения маятника от вертикального положения, р — угол поворота кожуха, со — собственная угловая скорость гироскопа. Будем рассматривать малые колебания системы. Тогда кинетическая энергия может быть представлена в виде *)
где
/о
величины
Q-
: /м
h-
Qi
g
- А
+ А + Ах,
входящие в формулу, представляют собой: /м — момент инерции маятника относительно оси вращения, А — экваториальный момент инерции гироскопа, I — полярный момент инерции гироскопа, Ах — экваториальный момент инерции кожуха, Q — вес кожуха гироскопа, Qx — вес гироскопа, I — расстояние от оси вращения до центра масс гироскопа и кожуха. Выражения для обобщенных сил при тех же предположениях имеют вид
Qa = — Pha
Qv
7 а,
сР + Jlf р (Р) -
