Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 52

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 125 >> Следующая


Совершенно аналогично проводится рассмотрение части плоскости, где v и. Обозначая т) = u/v, имеем для определения координат состояния равновесия уравнения

Е (.,) - |to ™ О,

ч[(1—+

Второе уравнение распадается на два:

11 = 0,

Р _____ Е (ц) г]2____

0.

(5.71)

(5.72)

(5.73)

(5.74)

оси v с координатами и

Уравнения (5.71) и (5.73) дают состояние равновесия на

0, v = Е (0)/р. Уравнение (5.74), для исследования которого воспользуемся рис. 5.18, имеет один и только один положительный корень г) = для

1 ^ p/а ^ 2, не имея для других значений p/а интересующих нас корней; при р/а = 1 г)х = 1, при р/а=

— 2 т|1 — 0. Кривая

а Е (ц) — (1 — т)2) К (г|)

Р Т|а?(Т))

на рис. 5.18 нанесена штри-

0


Ц2
у е-(Н2)к

2у(ПгНг-уг=
U- ---
HW)K
У= Ef
Г

у

0,5 Рис. 5.18

хами. Зная корень 1]г, определим координаты состояния равновесия по

уравнению (5.71). Таким образом, в рассматриваемом

квадранте, включая оси (точку и — 0, v — 0 мы исклю-

чаем из рассмотрения), могут быть:

1) два состояния равновесия, расположенные на осях, когда 0 < а/р < 1/2 и 2<а/р<оо;

2) три состояния равновесия — два на осях и одно вне осей, когда 1/2 <; а/р <2. Координаты третьего состояния равновесия и3, v3 удовлетворяют условию и3 ^> v3 для
§ 3) СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 157

1 < а/р <2 и условию и3 < v3 для 1/2 < а/р С 1. Для а/р = 1 и3 = v3.

Перейдем к исследованию характера состояний равновесия. Как было показано в § 4 гл. 1, характер состояний равновесия для уравнений

чг = р(и'и)’ -зг = 0(“.”)

в тех простейших случаях, которые нас интересуют, определяется знаками величин

Р = —1Ри К, v0) + Qv (и0, у0)], q = Р'и (и0, vQ) Q'v (и0, и0) _ P'v (и0, v0) Qu (и0, vQ),

где и0, v0 — координаты состояния равновесия. Для состояния равновесия, расположенного па оси и (их = = Е (0)/а = п/(2а), vx = 0),

р=а*-в (•?-[>), « —/IB-fe-P).

Для 4мх/л < 1/р (т. е. для а/р > 2) q <z 0 и, следовательно, рассматриваемое состояние равновесия является седлом. Для 4щ/п > 1/р (т. е. для а/р < 2) q^> 0, а также и р 0, состояние равновесия будет устойчивым узлом, так как фокуса быть не может, ибо ось и является интегральной кривой и проходит через это состояние равновесия. Рассуждая аналогичным образом, для состояния равновесия и2 = 0, г;2 = ^VP = я/2р найдем, что для 4у2/я < 1/а (т. е. а/р < 1/2) это состояние равновесия — седло, а для а/р 1/2 — устойчивый узел.

Рассмотрим характер равновесия, расположенного впе координатных осей. Для случая и3 v3 получаем

Р = л(-*=*+а)+д[ “^Г^+Р].

, = АВ [-^-2- (Р + а) ? + с#] .

Пользуясь равенствами (5.67) и (5.70), представим уравнение для q в виде

В этом выражении ? удовлетворяют уравнению (5.70). На рис. 5.18 построена кривая q = 0, т. е.

2У (1 * S2) + - у* = 0,
158 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5

которая на плоскости |2г/ отделяет область, где q 0, от

области, где q < 0. Из рассмотрения рисунка следует, что для 1 < а/р<2 q < 0, т. е. состояние равновесия между осями и и v является седлом. Аналогично показывается, что состояние равновесия и3, vs, когда v3 и3, также является седлом.

Таким образом, число и характер состояний ранове-спя однозначно определяются отношением a/(J (табл. 1).

Т а б л н ц а 1

1 Состояние рав Состояние рав Состояние равно-
новесия на оси и новесия на оси v т.осия пне осей
a 1 Устойчивый Седло Нет
0<"]Г <~2~ узел
1 a Устойчивый У стойчивып Седло
ir<T<2 узел узел
а Седло У стойчивый Нет
2 < ~р~ < 00 узел
Рассмотрим теперь точку и = 0, v = 0. В этой точке уравнения (5.65) теряют смысл, так как значения и ли не определены, а следовательно, не имеют смысла и правые части этих уравнений. Так как исходные уравнения движения динамической системы удовлетворяются решениями а = 0, Ъ = 0, или, что то же, и = 0, v = 0, то целесообразно доопределить правые части системы (5.65) таким образом, чтобы точка и = 0, v = 0 была состоянием равновесия. Однако следует иметь в виду, что в окрестности точки и = 0, v = 0 становится сомнительной возможность использования уравнений (5.65) для приближенного анализа системы (5.60), так как для колебаний с достаточно малой амплитудой момент М (ф), удовлетворяющий условию Elril 1, уже не может считаться малым. Можно

считать, что в окрестности состояния равновесия и = 0, v = 0 характер фазовых траекторий подобен характеру фазовых траекторий в окрестности неустойчивого узла.
Предыдущая << 1 .. 46 47 48 49 50 51 < 52 > 53 54 55 56 57 58 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed