Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
то
— A cos д1 — р = Р (р, О),
jf- Л sin — ?р + р3 = PQ(р, О).
(5.44)
Особые точки этой системы уравнений (состояния равновесия), согласно выражению (5.43), соответствуют периодическому движению с частотой внешней силы. Уравнения
144 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
для определения особых точек будут
Л cos ft -f р = О,
A sin ft — ?р -f р3 = 0.
Исключая из этих уравнений ft, получаем уравнение резонансной кривой
Г И + (р2 - ?)21 - А\ (5.45)
Определенные этим уравнением р2 соответствуют состояниям равновесия системы (5.44). Величины, определяющие характер состояния равновесия, определяются формулами (§ 4 гл. 1)
Р = — (Рр 4" Qq) = 2 0,
Я — PpQb — PqQp = 1 + Зр4 — 4р2? + ?2.
Так как р 0, то состояния равновесия будут устойчивы
при q 0 и неустойчивы при q < 0.
Рис. 5.14
Перейдем к построению на плоскости ?р2 резонансных кривых при фиксированных А. В соответствии с (5.45) получим
do* 2р*(р* —?)
dQ — Н-Зр4-4р^ + ?2-
Это значит, что резонансные кривые пересекают прямую р2 = ?, имея горизонтальную касательную. Кривую же q = 0 резонансные кривые пересекают, имея вертикальную касательную. На рис. 5.14 показаны расположения кривой q = 0 и резонансных кривых для различных А. Из рас-
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
145
8 ___
смотрения этого рисунка следует, что при А2 -g- Jf 3
и любых значениях расстройки резонансная кривая соответствует устойчивым состояниям равновесия и, следовательно, исходная динамическая система совершает движе-
8 —
ние с частотой внешней силы при любом ?. При А2 -д- У 3
часть резонансной кривой расположена внутри области q <С 0, т. е. соответствует неустойчивому состоянию равновесия системы (5.44); части резонансной кривой, расположенные вне области q <с 0, соответствуют устойчивому состоянию равновесия. jrf
Таким образом, при изменении ? от отрицательных значений до ? = система совершает периодическое движение с частотой внешней силы и амплитудой, соответствующей верхней части резонансной кривой. При ? = происходит скачкообразное изменение амплитуды, и система при дальнейшем увеличении ? совершает движение с амплитудой, соответствующей нижней части резонансной кривой. При обратном изменении ? скачкообразное изменение происходит уже при ? = ?2, и при дальнейшем уменьшении ? движение происходит с амплитудой, соответствующей верхней части резонансной кривой.
Итак, при ? < ?2 и ? в исходной динамической
системе при любых начальных условиях устанавливают периодические движения с частотой внешней силы и соответственно с амплитудой, соответствующей верхней части и нижней части резонансной кривой. При ?2 < ? < в системе в зависимости от начальных условий устанавливаются периодические движения с амплитудами, соответствующими нижней или верхней части резонансной кривой.
§ 3. Автономные динамические системы с двумя степенями свободы [13]
Рассмотрим сначала автономную динамическую систему, не содержащую гироскопических сил. Уравнения движения такой системы имеют вид
allQl а12?2 “Ь Cll4l “Ь С12?2 = M'/l (Qll Ч11 9г> 4n)i
а1тЯ1 “Ь а22?2 + С12?1 “Ь С22?2 = (Qll 9lt ?2l ?г)>
где ailt и cik (i, к = 1, 2) — постоянные коэффициенты, fi — малый параметр, и — нелинейные функции.
146
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Введя обозначения
- ?---------------
а11 ’ <*22 ’
перепишем уравнения движения в виде
Qi + ^i?2 + = ц/ ((?!, с l5 q2, f/2), (5.46)
?2 + ^2<7l + #2?! + «2?2 = (?1, <h> ?2> ?2)-
При [д. = 0 система уравнений (5.46) имеет решение
q1 = a sin (kxt + Pi) + Ъ sin (k2t + f$2), (5.47)
q2 = axa sin (kjt + P*) + a2b sin (k2t + p2),
где a, b, plt p2 — постоянные интегрирования, kx и k2 (k2 kj) — главные частоты, являющиеся корнями уравнения
ак1 — (п\ + nl — АХВ2 — А2ВJ к2 -f п2п2 — ВХВ2 = О
(5.48)
(ст — 1 — АгА^, а аг и сс2 — коэффициенты распределения, определяемые по формулам
Будем предполагать, что корни уравнения (5.48) некратные и ни один из них не равен нулю. Решение системы уравнений (5.46) при [а Ф 0 будем искать в форме (5.47), считая, что а, Ь, рг и р2 — медленно меняющиеся функции времени. Дополнительные условия, которые мы наложим на функции а, Ъ, рг и р2 для их определенности, заключаются в предположении, что первые производные от qx и q2 по времени имеют такой же вид, как и при а, Ь, и р2 постоянных. Принимая это во внимание после дифференцирования q1 и <72, получим
