Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 43

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 125 >> Следующая


При состояний равновесия три: ус-

тойчивое состояние равновесия р = 0, неустойчивое состояние равновесия, соответствующее нижней ветви параболы (5.22), и устойчивое состояние равновесия, соответствующее верхней части параболы (5.22). На фазовой

плоскости q это соответствует устойчивой особой точке

в начале координат, неустойчивому предельному циклу и устойчивому предельному циклу. Таким образом, для начальных условий, лежащих внутри неустойчивого предельного цикла, колебания динамической системы затухающие. При начальных условиях, расположенных вне этого цикла, устанавливаются автоколебания. При а О состояние равновесия в начале координат неустойчиво и при любых начальных условиях устанавливаются устойчивые автоколебания (см. рис. 5.5).

Заметим, что при -у- а 0 динамическая система

может находиться в равновесии или совершать автоклеба-ния. Следовательно, если она находится в покое, то мы, сообщив ей достаточно большую скорость, можем привести ее в режим автоколебаний.

Проследим, как возникают автоколебания при изменении а от отрицательных значений к положительным. Пусть при а < 0 динамическая система находится в устойчивом состоянии покоя, при а = О возникнут автоколебания конечной амплитуды. Далее, при увеличении а амплитуда колебаний будет постепенно нарастать. Такой режим возникновения автоколебаний называется «жестким» режимом. При обратном изменении а — от положительных к отрицательным — амплитуда автоколебаний постепенно

9 В2

уменьшается и при а = -у- автоколебания прекратят-

ся (при конечной амплитуде), а система придет к устойчивому состоянию равновесия.

Следовательно, возникновение и исчезновение автоколебаний происходит при различных значениях параметра а, который часто называют коэффициентом возбуждения.

Мы не будем приводить здесь исследования случаев р < 0, а > 0 и р 0, у > 0, которые проводятся аналогично. Отметим только, что в этих случаях при определенных значениях в динамической системе могут возникнуть неограниченно возрастающие колебания. Однако неогра-
§ 2]

НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

129

ниченное возрастание колебаний требует неограниченного поступления в систему энергии извне, но это практически невозможно. Следовательно, в этих случаях приближение, взятое при разложении Тх (и + х), недостаточно и нужно учитывать члены более высоких порядков.

§ 2. Неавтономные квазилинейные динамические системы с одной степенью свободы

Рассмотрим движения неавтономной квазилинейной динамической системы вида

Предположим, что нелинейная функция /, (g, q, t) является периодической функцией по переменной t с периодом 2л/р, т. е.

Введя «безразмерное время» % = pt и обозначив к%= = сп/ап, перепишем уравнение (5.24) в виде

В дальнейшем будем рассматривать случаи, когда отношение (к2 — р2)/р2 имеет порядок малого параметра (х, т. е.

где ? — так называемая расстройка — параметр, характеризующий различие между величинами к и р. Используя соотношение (5.25), уравнению движения можно придать вид

«и? + спЯ = МЛ (Я, Я, t).

(5.24)

(5.26)

где функция

dq X dx ’ р

обладает свойством периодичности по т:

5 Н. В. Бутенин и др.
130 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 1ГЛ. 5

При (.1 = 0 уравнение (5.26) имеет решение

q — a cos т + b sin т. (5.27)

Если искать решение уравнения (5.26) при ц ф 0 в виде (5.27), считая а и b медленно меняющимися функциями времени, то, поступая аналогично тому, как это было сделано в § 1 гл. 5, получим для нахождения а и b укороченные уравнения вида

da

dx

2 л

=--------—• ^ Да cost+ Ь sin т,— а sin т + Ь cost, *t) sin т dx,

о



^ / (а cos т + Ъ sin т, — a sin т + b cos т, т) cos т dx.

(5.28)

Заметим, что система уравнений (5.28) является автономной. В частном случае, когда

f (?’ "ЗГ ’ т) -¦= * (9’ ~w) + А°sin т>

уравнения (5.28) имеют вид

2 Л

da цЛ0 Ц , ,

тг -2-------ЙГЗ 1Иас08Т +

и

+ b sin т, — a sin т + b cos т) sin xdx,



^ г); (a cos т + Ъ sin т, — a sin т + Ь sin т) cos т dx.

(5.29)

В качестве первого примера на применение полученных уравнений рассмотрим задачу о действии внешней синусоидальной силы на автоколебательную систему. Это рассмотрение связано с одним из интересных и важных свойств автоколебательных систем — явлением принудительной синхронизации, которое иногда называется захватыванием. Это явление заключается в том, что при достаточно малой разности между частотой автоколебательной системы и частотой внешней силы устойчивое периодическое движение системы приобретает частоту внешней силы. Основ-
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed