Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
dfl-
p-^- = — ?p + A sin ft + sin A = pQ (p, ft).
Особые точки (состояния равновесия) этой системы находятся из уравнений
— р — A cos ft + cos А — О,
— ?р Ь A sin ft -Ь sin А — 0.
Исключая из этих уравнений ft, получим уравнение дляр, соответствующих особым точкам
Р2 (1 + ?2) — 2р (cos А + ? sin А) + 1 = А2. (5.33)
Кривая (5.33) называется резонансной кривой. Характеристическое уравнение для уравнений первого приближения системы уравнений (5.32) имеет вид (§ 4 гл. 1)
s2 + ps + q = О,
где
cos Д
Р = — [Рр (р, Ф) + Qv (р, ft)] = 2 —
Р
q = Рр (р, ft) Qe (р, ft) — Ръ (р, ft) Qp (р, ft) =
1 , » . «.
¦134
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
а р, ft — корни уравнений Р (р, ft) = О, Q (р, ft) = О-Знаки величин р, q и
1 /<¦>,, sin Д \2
- (2?-
определяют характер состояний равновесия.
При q < 0 состояния равновесия неустойчивы (седла). При q 0, р^> 0 состояния равновесия устойчивы, при
Ч 0, /> <С О состояния равновесия неустойчивы. При
6 > 0 состояния равновесия —- узлы, при 6 < 0 — фокусы.
Рассмотрим плоскость ?р. На этой плоскости кривая q = 0 определяет область неустойчивых состояний равновесия (седел). При q 0 линия р = 0 отделяет устойчивые состояния равновесия от неустойчивых. Граница между фокусами и узлами определяется уравнением 5 = 0, т. е.
+ (*_-!»-)] =0. ,5.34)
Линия р — 0 представляет собой прямую
p=---p-cos Д. (.5.35)
2
Уравнение кривой q = 0 имеет вид _______________________ cos Д + ? sin Д
1 ¦
(5.36)
Эта кривая пересекает ось ? при ? = — ctg А, при ? -> оо р -> 0. При ? = tg ~ pmax = cos2 у-. Кривая q = 0 пересекает прямую р — 0 при
^ 1 + sin Д у. 1 — sin Д
пло Л * ^
cos Д ’ ъ cos Д
Кривая 6 = 0 пересекает линию р — 0 в точках ее пересечения с линией q = 0. На рис. 5.7 и 5.8 показаны диаграммы характера особых точек, построенные на плоскости ?р соответственно для А = 0 и Д = 0,5.
Перейдем к построению резонансных кривых, определяемых уравнением (5.33) при различных значениях А. Из уравнения (5.33) следует
cos Л + ? sin Д + А* (1 + ?а) — (sin А — С cos Л)2 Ч7,.
Р12~~~~--------------------------:---------5-qTTa----------------------:-------------. {о.о!)
При А = 0 резонансная кривая стягивается в .точку с координатами ? = tg А, р = cos А. Из выражения (5.37)
НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
135
следует, что р при А 1 имеет одно положительное значение, а при А < 1 — два положительных значения. На основании соотношения (5.33) получим
dp _______р (sin А — ?р)______
К Р (1 + ?а) — (cos Д + ? sia Д) ’
т. е. резонансные кривые пересекают кривую q = 0, имея вертикальные касательные. Геометрическим местом горизонтальных касательных резонансных кривых является
Рис. 5.7
-1 1-ал& fraud г ?
и 54 cos4
Рис. 5.8
гипербола ?р = sin А. Пересечение резонансных кривых с прямой р — 0 происходит при
2 sin Д]/Г4А2 — cosa Д /с qq\
136
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
1ГЛ. 5
Это значит, что резонансная кривая пересекает прямую
л , ^ cos Д
р = О только при А р- —^—.
Резонансные кривые пересекают кривую q = 0 при
cos Д sin Д + YАг (1
Л*)
cos Д
(5.39)
т. е. резонансная кривая пересекает кривую q = 0 только при А2 < 1. Через точку пересечения кривой q = 0 и пря-
r, cos А у 1 + sin Л
мои р = U с координатами р = —к— , Q ---• —1—г----------------
COS lj
проходит резонансная кривая, для которой А\ = 1/2 (1 —
А ч cos А
— sin Д), а через точку с координатами р=—^—,
1 — sin Д „ л
l, =----------------резонансная кривая, для которой =
= V2 (1 + sin Д). На рис. 5.9 и 5.10 построены в плоскости |р резонансные кривые при различных фиксированных А соответственно для А = 0 и А = 0,5.
А-0,5
МдД $3 \ f
