Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно, уравнение кривой контактов будет иметь вид
Р ___ _ dF/dy
Q dFjdx
Если топографическая система представляет собой семейство окружностей х2 + у2 = с, то уравнение кривой контактов будет
А = _ JL
Q х
Для рассматриваемой нами задачи в качестве топографической системы возьмем семейство окружностей
х* + у* = R\
Кривая контактов в соответствии с уравнениями (5.31) будет определяться уравнением
___х — у — 'Qx + (zsinA + у cos Д)/[/~з:а -f у3
У — х + А + (х cos Д — у sin Д)/1^х2 + уг
или
х2 + У2 + Ах — Ух2 + у2 cos Д = 0.
В полярных координатах это уравнение имеет вид
р = cos Д — A cos ft.
Таким образом, радиусы крайних кругов топографической системы, касающихся кривой контактов, равны
Ri = cos Д — А, R2 = cos Д + А.
Следовательно, если предельные циклы существуют, то они лежат внутри кольцеобразной области, образуемой окружностями радусов Rx и R2. Докажем с помощью теоремы Пуанкаре — Дюлака, что в рассматриваемом случае в кольцевой области между крайними кругами топографической системы при ? ]> ?3 и ? < ?4 имеется самое большее один устойчивый предельный цикл.
Теорему Пуанкаре — Дюлака можно сформулировать следующим образом. Пусть дана система
~Ц- = Р{х,у), -%- = Q(x,y),
НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
141
где Р (х, у) и Q (х, у) предполагаются однозначными и имеющими производные, и пусть F (х, у) — некоторая однозначная и дифференцируемая функция. Тогда, если
B(x,y)^Jr(PF)+^-(QF)
не меняет знака в некоторой кольцевой области D, то имеется самое большее один предельный цикл внутри D. В нашем случае функция
в v) = -w ^ + ~щг{QF) = Т'008 л “2
(где выбрано F = 1) внутри кольца между крайними кругами топографической системы при А < (cos Д)/2 знака не меняет, так как кривая (cos Д)/р — 2 = 0 в этом случае лежит внутри меньшего круга топографической системы
седла-узел узел
Рис. 5.13
и, следовательно, между крайними кругами топографической системы при ? > ?3 и ? < ?4 имеется один предельный цикл.
142
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. 5
При
cos Д - . ^-1/1 — sin Д
А<У
также будет существовать предельный цикл, так как все траектории выходят из точки х = 0, у = 0, бесконечность неустойчива и при ? ?3 и ? < ?4 особых точек, кроме
х = О, у = 0, нет. На рис. 5.13 показаны качественные картины плоскости ху при различных значениях ? для А <; (cos Д)/2.
В заключение отметим, что, как видно из рассмотрения рис. 5.9 и 5.10, запаздывание А делает полосу захватывания не симметричной по отношению к расстройке ?.
Рассмотрим теперь задачу о действии внешней синусоидальной силы на нелинейную неавтоколебательную систему.
Пусть тело массы т совершает движение по горизонтальной направляющей под действием силы пружины и внешней синусоидальной силы A' sin pt. Пренебрегая силой сухого трения, уравнение движения тела можно написать в виде
тх + у'х + ф [х) = A' sin pt,
где у' — коэффициент вязкого трения; ф (х) — функция, определяющая восстанавливающую силу пружины. Рассмотрим случай, когда ф (х) может быть представлена в виде
Ф (х) = сх — р'х3 (с ^>0, р' 0).
Уравнение движения в этом случае примет вид тх + у'х + сх — fi'x3 = A' sin pt.
Вводя новую безразмерную переменную q = х/l, где I — постоянная величина, имеющая размерность длины, и т — = pt, получим
+ , _j!LsinT
dx'z p2 mp dx mjfl mp4
Предположим, что рассматриваемая система близка к линейной консервативной, т. е. предположим, что безразмерные величины
л1<1,
тр тпр' тпрг1
Будем также предполагать, что система близка к резонансу, т. е. J к2 — р21 /р2 1. Тогда, вводя безразмерный малый
§ 2] НЕАВТОНОМНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ 143
Y
---11 jjdl
А-8
параметр ц — *~-и расстройку ? при помощи соотношения
1 +
получим окончательный вид уравнения движения
dq
dx3
+ ? и (— iq — + (W + si-'i т),
где
Если искать решение этого уравнения в виде
q — a cos т + b sin т, (5.43)
где а ж Ъ — медленно меняющиеся функции времени, то согласно выражениям (5.29) получим
da л0 - я + U> - 4- м («2 Jr Ь%
где т1= —т. Вводя ж - л ] fJ>0, /./ b j — |30 и /1—
= ^40 "| |»о- можем написать
^ — .4 — х + у/ — у (х1 + у2),
— У — + ж (х2 + у2).
Перейдем к полярным координатам. Так как х = р cos 0, г/ — р sin О,
