Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 42

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 125 >> Следующая


*) Эта динамическая система является аналогом так называемого маятника Фроуда [30].
§ 1] СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 125

Уравнение движения тела будет теперь иметь вид

* ¦ Ь . , с Tx(v) 7>) . Ттх{») _

z-j-----X-----х=. —-------1---------X-\-------д—хл

т т т т 6 т 120т

Введем x = kt (k=Yc/m), тогда

d2x _ b dx ^x(v) T x(v) ^х

dx2 ^ x - mk dx mk2 mk dx

, Tmx(v)k , dx s3 Т<УНи)к* * dx

I dx \3 '(v) к I dx \5

\ dx ) 120m \ dx I

6m

Введя новую переменную q~x--------------------т^2 ¦, получим

d*q , _ / Т'х (у)_____, ЬТ"х(и) ( dq \3 ,

^ \ mk mk ) dx

dx2 ^ V mk mk j dx 1 6m \ dx

f dq

120m \ dx

Предположим, что коэффициент вязкого трения мал,

а сила сухого трения мало отличается от постоянной,

т. е. предположим, что безразмерные величины

_*_<!

mk “ ! mk '= ’ m ^ ’ m ^

Пусть (i=-------малый параметр, характеризующий

близость рассматриваемой системы к линейной консервативной. Вводя обозначения

Г>) „ й к* К (и)

а = —---------*’ Р = -в----------Ъ ’ V=-ь---,

перепишем уравнение движения в виде

„ [„4+,(4)-+ !(-?)•].

Сравнивая это уравнение с уравнением (5.3), видим, что для рассматриваемого случая

dx j dx r \ dx j r \ dx Тогда в соответствии с формулами (5.17) получим

ф (Р) ~Y Р (« + 4" в°2 + ТГ Ypl) ’

• т ((>) =
126

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5

Состояния равновесия системы находятся из уравнения

р (“+4* рр2+"гvp4)=°-

Корень Рх = 0 соответствует состоянию равновесия исходной динамической системы. Так как

Ф' (р) = 4" (« + 4 РР2 + НГ W4) ’ <5'21)

то состояние равновесия рх = 0 будет устойчивым, если а < 0, и неустойчивым, если а 0. Другие состояния

равновесия находятся из уравнения

a+-|"PP! + -|-VP4 = 0- (5‘22)

Нас интересуют только положительные корни этого уравнения. Рассмотрим, как зависят эти корни от коэффициента а при фиксированных

Р и V-

Исследуем случай, когда р < О, у < 0. Введем в рассмотрение плоскость ар2. На этой плоскости уравнение (5.22) представляет собой уравнение параболы. Из уравнения (5.22) следует, что

/
Ф\р)<0

0 а
Рис. 5.4

Г

у — Г Но о у

При a = 0 один корень уравнения (5.22) равен нулю, а второй отрицательный, так как р и у одного знака. При а 0 уравнение (5.22) будет иметь только один положительный корень. Таким образом, парабола расположена, как показано на рис. 5.4. Согласно выражению (5.21) парабола

« + -|-РРг + -^№4 = 0 (5.23)

отделяет на плоскости ар2 области устойчивости, где Ф' (р) < 0, от области неустойчивости, где Ф' (р) 0.

В рассматриваемом случае область устойчивости находится вне параболы (5.23), нанесенной на рис. 5.4 штрихами. Из рассмотрения рис. 5.4 следует, что при a < 0 будет только одно устойчивое состояние равновесия р = 0. При а 0 будет два состояния равновесия: неустойчивое
§ 1]

СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

127

р = 0 и устойчивое, соответствующее верхней ветви параболы.

На фазовой плоскости при а < О будет устойчи-

вое состояние равновесия в начале координат и, следовательно, система совершает затухающие колебания. При

а 0 на фазовой плоскости q будет неустойчивое состояние равновесия в начале координат и устойчивый предельный цикл (рис. 5.5). При уменьшении а предельный

Рис. 5.6

цикл стягивается к началу координат и при а = О сольется с неустойчивым состоянием равновесия и передаст ему свою устойчивость. При увеличении а от отрицательных значений к положительным при переходе через нуль возникают автоколебания, амплитуда которых увеличивается непрерывно (при непрерывном увеличении а). Такой характер возникновения автоколебаний называется «мягким» возбуждением.

Пусть теперь Р 0, у < 0. В этом случае на плоскости ар2 парабола (5.22) пересекает ось р2 в точках а2 = 0,

р! = 0 и а3 = 0, рз =------!г~-^ • Расположение этой па-

раболы показано на рис. 5.6. В рассматриваемом случае область устойчивости находится вне параболы (5. 23), нанесенной на рис. 5.6 штрихами. Из рассмотрения

рис. 5.6 следует, что при а <С -у- будет только одно

устойчивое состояние равновесия и динамическая система совершает затухающие колебания.
128

КВАЗИЛИНЕЯНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed