Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
*) Эта динамическая система является аналогом так называемого маятника Фроуда [30].
§ 1] СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ 125
Уравнение движения тела будет теперь иметь вид
* ¦ Ь . , с Tx(v) 7>) . Ттх{») _
z-j-----X-----х=. —-------1---------X-\-------д—хл
т т т т 6 т 120т
Введем x = kt (k=Yc/m), тогда
d2x _ b dx ^x(v) T x(v) ^х
dx2 ^ x - mk dx mk2 mk dx
, Tmx(v)k , dx s3 Т<УНи)к* * dx
I dx \3 '(v) к I dx \5
\ dx ) 120m \ dx I
6m
Введя новую переменную q~x--------------------т^2 ¦, получим
d*q , _ / Т'х (у)_____, ЬТ"х(и) ( dq \3 ,
^ \ mk mk ) dx
dx2 ^ V mk mk j dx 1 6m \ dx
f dq
120m \ dx
Предположим, что коэффициент вязкого трения мал,
а сила сухого трения мало отличается от постоянной,
т. е. предположим, что безразмерные величины
_*_<!
mk “ ! mk '= ’ m ^ ’ m ^
Пусть (i=-------малый параметр, характеризующий
близость рассматриваемой системы к линейной консервативной. Вводя обозначения
Г>) „ й к* К (и)
а = —---------*’ Р = -в----------Ъ ’ V=-ь---,
перепишем уравнение движения в виде
„ [„4+,(4)-+ !(-?)•].
Сравнивая это уравнение с уравнением (5.3), видим, что для рассматриваемого случая
dx j dx r \ dx j r \ dx Тогда в соответствии с формулами (5.17) получим
ф (Р) ~Y Р (« + 4" в°2 + ТГ Ypl) ’
• т ((>) =
126
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
Состояния равновесия системы находятся из уравнения
р (“+4* рр2+"гvp4)=°-
Корень Рх = 0 соответствует состоянию равновесия исходной динамической системы. Так как
Ф' (р) = 4" (« + 4 РР2 + НГ W4) ’ <5'21)
то состояние равновесия рх = 0 будет устойчивым, если а < 0, и неустойчивым, если а 0. Другие состояния
равновесия находятся из уравнения
a+-|"PP! + -|-VP4 = 0- (5‘22)
Нас интересуют только положительные корни этого уравнения. Рассмотрим, как зависят эти корни от коэффициента а при фиксированных
Р и V-
Исследуем случай, когда р < О, у < 0. Введем в рассмотрение плоскость ар2. На этой плоскости уравнение (5.22) представляет собой уравнение параболы. Из уравнения (5.22) следует, что
/
Ф\р)<0
0 а
Рис. 5.4
Г
у — Г Но о у
При a = 0 один корень уравнения (5.22) равен нулю, а второй отрицательный, так как р и у одного знака. При а 0 уравнение (5.22) будет иметь только один положительный корень. Таким образом, парабола расположена, как показано на рис. 5.4. Согласно выражению (5.21) парабола
« + -|-РРг + -^№4 = 0 (5.23)
отделяет на плоскости ар2 области устойчивости, где Ф' (р) < 0, от области неустойчивости, где Ф' (р) 0.
В рассматриваемом случае область устойчивости находится вне параболы (5.23), нанесенной на рис. 5.4 штрихами. Из рассмотрения рис. 5.4 следует, что при a < 0 будет только одно устойчивое состояние равновесия р = 0. При а 0 будет два состояния равновесия: неустойчивое
§ 1]
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
127
р = 0 и устойчивое, соответствующее верхней ветви параболы.
На фазовой плоскости при а < О будет устойчи-
вое состояние равновесия в начале координат и, следовательно, система совершает затухающие колебания. При
а 0 на фазовой плоскости q будет неустойчивое состояние равновесия в начале координат и устойчивый предельный цикл (рис. 5.5). При уменьшении а предельный
Рис. 5.6
цикл стягивается к началу координат и при а = О сольется с неустойчивым состоянием равновесия и передаст ему свою устойчивость. При увеличении а от отрицательных значений к положительным при переходе через нуль возникают автоколебания, амплитуда которых увеличивается непрерывно (при непрерывном увеличении а). Такой характер возникновения автоколебаний называется «мягким» возбуждением.
Пусть теперь Р 0, у < 0. В этом случае на плоскости ар2 парабола (5.22) пересекает ось р2 в точках а2 = 0,
р! = 0 и а3 = 0, рз =------!г~-^ • Расположение этой па-
раболы показано на рис. 5.6. В рассматриваемом случае область устойчивости находится вне параболы (5. 23), нанесенной на рис. 5.6 штрихами. Из рассмотрения
рис. 5.6 следует, что при а <С -у- будет только одно
устойчивое состояние равновесия и динамическая система совершает затухающие колебания.
128
КВАЗИЛИНЕЯНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5