Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
где rij = arccos . Преобразуем интеграл
0Д»2
Л/2
Ф = J у l_(Jg.)2CossT,dri.
Hi
bk2
Введем замену cos т] = cos ij). Тогда
Ф:
Л/2
акх С J
sin3 ¦ф (/"ф
ак Ьк.
Ьк.
Л/2
О |/" 1-
ак\ \2
W/ C°Sat
Л|>
акх \2
ьк2 с -\ж) сов2^^
Л/2
° 1 0 V1 ~ {ж)2 cos2^
Ьк2 I
я/а
акх Ьк2
+
Ьк.
ак
а/с
Я/2
Н:
йг|)
fl*l \2 ж)
акх
Ьк»
\ _ ( Ьк2 у
7 \ 0*1/_
X
Л/2
\у
<ак
W
Л/2
S
di|)
+
Я/2___________
ж S YМж)20082^-
Так как
Я/2
afci \а
Ыи
COS'
гМ4>= I ]/"1
О
Jr/‘J
S
акI\2 . г
ж)SX,J‘
rfiji
1 - (ж)"00821,1 " V1 - (ж?sil12111
то выражения (5.63) и (5.64) примут соответственно вид
n-Jc^a +
8EnTii
я2
*(-$)¦
Ft
154
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
где
к
Л/2
(m>“ J VT
[/ 1 — m.2 sin! \|)
Я/2
Е (т)— — т2 sin21)5 di|)
— полные эллиптические интегралы соответственно первого и второго ряда.
Для Gj имеем
2JI 2Я
Gj =---^ ^ (a1fc1a cos g + a2fc26 cos r|) cos | dr\ =
о a
— — n^ka1ak1.
Аналогично вычисляются ^2, G2, ^’3, F4, G3, G4. Для 6/c2
'.= -^+^{[(?)-(-?)]*(-?) +
+
fcft2 j \ aki j)
G-i = — n{haj)h,.
Для акг < bk2
„ , , Si’oWi I aki
/2^_П1ййа + _Ь(_
Вычисления показывают, что = F4 = G3 = G4 == 0. Подставляя вычисленные значения интегралов (5.59) в уравнения (5.61) и (5.62), получим *)
Л [#(-?-) — auj =P1(u,v),
dx
dv r> v
— = tf------------------------
dx и
+
, и ^>v,
du
dx
dv
' u2 \ v
av
dx
в
?( —
Pt>
P2 (a, 1;), <?2 (w> y)>
P1 = const, p2 = const,
(5.65)
, и<у,
*) Достаточно изучить поведение системы при о > 0, b > 0, так как поведение в остальных трех квадрантах получается при помощи зеркального отображении.
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
155
где
Ьк2п2
8?0
А =
Вг
п\ах
>о.
В--
в,
п\а2
Вг
В»
(5.66)
Система уравнений (5.65) на плоскости uv создает непрерывное поле направлений, так как правые части этих уравнений являются непрерывными функциями и, v и направления интегральных кривых по прямой и = V, определяемые из первой пары уравнений (5.65), совпадают с направлениями, которые получаются из второй пары. Прямые и — 0 (и 0), v — 0 (и 0) являются интегральными кривыми.
Рассмотрим часть плоскости uv, удовлетворяющую условию и v. Обозначая v/u = | (0 < i <С 1), имеем для определения координат состояния равновесия уравнения:
Е (I) — аи = 0,
Е(Ъ)
: 0.
? [(1 --1) *(?) + .?. я (Б) _р Второе уравнение распадается на два:
I = 0,
а Я (^) У
Р — Е(Ъ)-(1-?)К(1)
Уравнения (5.67) и (5.69) дают состояние равновесия на оси и с координатами z; = 0, и = Е (0)/а. Для определения корней уравнения (5.70) построим на плоскости у\г кривую *)
(5.67)
(5.68)
(5.69)
(5.70)
у--
Е (5) у
Е$,)-{1-ф)К{Ъ) •
Из рассмотрения рис. 5.18 следует, что при у — а/(3 = уравнение (5.70) имеет один корень | = 1, при у = а/р = 2 уравнение имеет корень | = 0. При 1 <1 ос/р
*) При построении кривой использованы формулы dK _ 1 В{4) d?* 2 1-р’ d!?
где
Я/2
в а)
cos2 ij) dij)
1 —sin2 г|)
п/з
О®. J
sin2
]A l — E,2 sin21|)
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
(ГЛ. 5
-< 2 уравнение имеет один положительный корень ? = = Для остальных значений а/р это уравнение не имеет интересующих нас корней. Зная корень определим координаты состояния равновесия по (5.67).
