Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 3] СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ 159
Перейдем к рассмотрению поведения интегральных кривых системы (5.65) во всем квадранте. Во-первых, в рассматриваемом квадранте не может быть предельных циклов, так как внутри предельного цикла должно быть по крайней мере одно состояние равновесия и это состояние равновесия не может быть седлом или такой точкой, через которую проходят интегральные кривые, идущие в бесконечность. Во-вторых, при достаточно больших и и v для всех интересующих нас значений аир du/dx<^0, dv/dx <Ч), т. е. движение по интегральным кривым для достаточно больших и я v направлено внутрь.
Рассмотрим теперь поведение сепаратрис.
1. Для 0 < а/р <1/2 сепаратрисы порождаются лишь Рис- 5.19
состоянием равновесия, расположенным на оси и. Интересующий нас ус седла, выходя из этого состояния равновесия, не может идти в бесконечность и не может накручиваться на цикл, так как циклов не существует, следовательно, он стремится к устойчивому состоянию равновесия, расположенному на оси и. Весь квадрант в данном случае является областью «устойчивости в большом» для устойчивого состояния равновесия, расположенного на оси и. Качественная картина плоскости uv для рассматриваемого случая показана на рис. 5.19.
2. Для случая 1/2 < а/р < 2 сепаратрисы порождаются лишь состоянием равновесия, расположенным вне осей. Из неустойчивых усов один идет в устойчивое состояние равновесия на оси и, другой — в устойчивое состояние рановесия на оси v. Один устойчивый ус идет из бесконечности, другой — из начала координат. Квадрант разбивается на две области «устойчивости в большом», являющиеся областями притяжения для двух устойчивых состояний равновесия, расположенных на осях (рис. 5.20).
3. Для 2 < а/р < оо сепаратриса седла, расположенного на оси и, идет в устойчивый узел, расположенный на оси V. Весь квадрант является областью «устойчивости в большом» для этого состояния равновесия (рис. 5.21).
160
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. 5
Пользуясь проведенными исследованиями плоскости переменных uv, можно утверждать, что основными интересующими нас движениями являются периодические движения, близкие к нормальным колебаниям, имеющим частоты кг и к2. Эти движения соответствуют на плоскости
uv состояниям равновесия, расположенным на осях. Седло, расположенное вне осей, отвечает неустойчивому би-гармоническому движению, которое представляет физический интерес только в связи с теми сепаратрисами, которые отделяют на фазовой плоскости области «устойчивости в большом», принадлежащие движениям, близким к гармоническим.
Для исследования наглядной картины явлений, которые могут происходить в рассматриваемой системе, будем менять массу т2 второго маятника, оставляя все другие параметры системы постоянными. В качестве параметра, характеризующего изменение массы тпг, возьмем отношение парциальных частот ? = nl/n%. При постепенном изменении ? в прямом и обратном направлениях мы получим наглядную картину явлений, происходящих в системе, если мы построим в зависимости от ? кривые амплитуд маятников и кривые частот и укажем на этил-графиках части кривых, соответствующие устойчивым движениям. Амплитуды колебаний первого маятника
z1 = — u1 и = -p^-j являются функциями
? и выражаются формулами
Рис. 5.20
Рис. 5.21
1
1 + (С — ао)
1 — ? -1- |/(i — с:)3 + 4^0 (S •—й»)
? - 1 + \f(\ - ?)• + 4а„ (? - во)
СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
161
1 + ^0 (? — «о)
1-?-Уг(*-?)1 + 4з0(б-д0) 5 — 1 —1^(1 _ О* 4- 4во (С —'««)
где
су
«Тп
т^п,-
п21
На рис. 5.22 показаны расположения кривых zx и z2 на плоскости ?z. Стрелками указаны перескоки с одной амплитуды на другую при прямом и обратном изменениях ?. На рис. 5.23 показаны амплитуды второго маятника 1 Т)х = ад и т)3 = a2z2. На ри- 1. сунках хорошо видно явление затягивания при прямомgj\ и обратном изменениях На рис. 5.24 изображены кривые частот, определяе- 0,5 мые уравнением
а* - (1 + о S2! + ч - 0
-“.(?-«.) = о, Рис 522
где Q2 = к2!п\.
Части кривых, соответствующие устойчивым режимам, представлены жирными линиями. При измеиении ? от
1
Чг 2- (
Риг. 5.23 Рпг. 5.24
нуля до ? = система совершает устойчивое гармоническое движение с частотой, близкой к нормальной частоте к2. Далее система изменяет частоту скачком, и при дальнейшем увеличении ? в системе происходят колеба-
6 H. В. Бутенин и др.
162
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ |ГЛ. 5
ния с частотой, близкой к нормальной частоте кг. При обратном изменении ? скачок с частоты кг к частоте к2 произойдет уже при ? = ?t. Это явление носит название затягивания по частоте. При ?t < ? < ?2 в системе в зависимости от начальных условий могут установиться устойчивые колебания и с частотой, близкой к кг или кг. Кривые на рис. 5.22, 5.23 и 5.24 построены при а0 = 0,16; сх0 = 0,8; Х0 = 2. При других значениях этих величин получаются аналогичные кривые.
