Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
-J- D2 sin t + E2 cos t.
При ц, = 0 эта система уравнений имеет решение
qx = a sin (kxt + ^) -f b sin (k2t + 0a) +
+ dx sin t -\- ei cos t, (5.111)
q2 — axa cos (kjt + px) + ct2b cos (k2t + |3a) +
+ d2 sin t + e2 cos t.
184 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
где кг и к2 — частоты линейной однородной системы — корни уравнения (5.77), аг и а2 определяются формулами (5.78),
^ (1 “Ь rt2) Di V*]E2 — El (1 -j- ^1-^2
“i= д > ei= д *
— D2 (1 nS) ti2Ei ¦— (1 E% — X2D1
d9 =----------7 ------------, e» = -
*2— д ’ c2— Д, ’
Д = 1 + (-f- -f- Щ ^1^2) reiraf.
Если искать решение системы уравнений (5.110) при (г ф Ф 0 в виде (5.111), считая а, Ь, ^ и |32 медленно меняющимися функциями времени, то приближенные уравнения для определения а, Ь, и 02 будут
(«А--!-'¦) •
dPi _ 1 /„ r , ** F \ (5Л12)
*& + ЧГР*)'
1 [ р , ^2 тр \
\ln\t
где т =-----------— (к„'^>кл),
2 (к*-к*) ' 11 2Л 2Л 2Я
S j* cosldldx\dt,
ООО 2Я 2Я 2Я
р2 = 4^3-J jj J j*cosr\dldr\dt,
ООО 2Я 2Я 2Я
Рз = ~ш \ S S j*s,m\dldr\dt,
ООО 2Я 2Л 2Я
Fi = 4^ jj J jj /* siu Л dil dt,
ООО
2Я2Я2Я
Gi==i"S S S
000
2Я2Я 2Л
G* = IS^jj jj jj g* sin^dld^dt, (5.113)
§ 6] НЕАВТОНОМНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ 185
2Я 2JI 2 JT
S S ?*c°s&d=dTi^>
ООО 2Я 2Я 2Я
^ S S*cosJ]dldndt,
ООО
/* = / (a sin ? -f- b sin Л + di sin t + ех cos t, akx cos ? -4- bk2 cos л 4- dx cos t — ex sin t, axa cos ? 4" аФ cos Л + d2 sin t -\- e2 cos —atakx sin ? — a2bk2 sin л + d2 cos t — e2 sin t), g* = g (a sin | 4- b sin Л + sin t + ei cos t, ak1 cos ? 4- bk2 cos л + dx cos t — ex sin t, axa cos ? 4- cos л + d2 sin t -f- e2 cos t,
—axakx sin ? — a2bk2 sin л + d2 cos t — e2 sin t),
| kjt 4- Pii Л ~ k2t 4- Рг-
Рассмотрим теперь случаи, когда одна из нормальных частот будет совпадать с частотой внешнего воздействия. При этом будем предполагать, что амплитуда внешнего воздействия имеет порядок ц. Уравнения движения при этом могут быть записаны в виде
91 — Xi?'2 + n21q1 = ц/ (ft, (l5 q2, (2, t),
...... 2 , • (5.114)
92 + Щ(,1± n2q2 = \ig (ft, <,1, q2, i2, t),
где нелинейные функции / и g обладают свойством
/ (9i. (и 9г. ?г. t 4- 2jx) = / (ft, '(i, 9г. С'г, *),
ё (9i. 92. '<,'2. * + 2я) = g (ft, i^, ft, f).
Полагая kl^> kl = i, будем искать решения уравнений (5.114) в виде
ft = ах sin t 4- а2 cos t -f- b sin (k2t + ф),
115)
q2 — cos t — axa2 sin t 4- a2b cos (k2t -f i|>),
где ax, a2, b и -ф — медленно меняющиеся функции времени. Приближенные уравнения для определения аг, а2,
186
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 5
Ъ и г|) в этом случае будут
dai
dx
da 2
dx
db
dx
*2
«1
F1 XiGij , F2 + *iG2] ,
»-s—
x2
(5.116)
где т
2 (*1— 1) ’
2Я 2Я 2Л 2Л
Ft — jj jj /* cos t dr| eft, Gx = jj jj Siu t ^ dt'
0 0 0 0
2л: ?я 2л: 2л:
F* = 2^~ jj jj Sil1 ^ Gi = jj jjg*cos 1 dr] dt'
(5.117)
ZJl 'Wl ai zji
^* = jj /•cosrjd'n*, = J j g*siniidri
dt,
о 0
2Я 2П
0 0 2Я 2Я
\ jj }*sinrldr\dt’ G4=2^{j 5 g* cosr\dT]dt,
0 0 0 0 Ti = k2t + 1)5,
/* = / (a1 sin t + a2 cos t + b sin r), a1 cos t — a2 sin t + bk2 cos т), cos t — a1a2 sin t + + a2b cos T), — sin t — a 1a2 cos t — ct2bk2 sin r|),
g* — g (o^ sin t + a2 cos t + b sin T),
ax cos t — a2 sin t 4- bk2 cos T), axa cos t — aга2 sin t 4- &2b cos tj,
—axax sin t — axa2 cos t — axbk2 sin T])-Если kl <z k\ = 1, то решение следует искать в виде q± = a sin (ktt 4-1|)) 4- bx sin t + b2 cos t, q2 = axa cos (kxt 4- ij5) + a2ft1 cos t — a2b2 sin t. Приближенные уравнения для определения медленно ме-
