Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
У,
х
Рис. 4.37
|Рис. 4.38
106
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
совершает устойчивые колеоания относительно заданного курса. Период автоколебаний т* определяется из уравнения
1 — (3 = -j- cth —
которое получается из соотношении
(4.51) после подстановки в них уг = у2 = у* и исключения величины у*.
Период автоколебаний, так же как и их амплитуда, стремится к нулю вместе с Р ->¦ 0.
Пример 5. Электромагнитный прерыватель [Ю]. Рассмотрим модель электромагнитного прерывателя (рис. 4.41), представляющую собой пример динамической системы с трехмерным фазовым пространством, которое оказывается вырожденным. Это позволяет свести задачу
к изучению точечного отображения полупрямой в себя. На схеме рис. 4.41 катушка М с железным сердечником включена в цепь с источником постоянной э. д. с. Е. Электрическая цепь может замыкаться и размыкаться при помощи подвижного контакта (молоточка), укрепленного на упругой ножке. Обозначим через х координату смещения молоточка прерывателя от его положения в отсутствие источника э.д.с. Будем считать, что мягкая пластинка П, укрепленная на молоточке, не препятствует его отклоне-
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
107
нию в сторону отрицательных х. Координату х — а, при которой происходит замыкание и размыкание цепи, можно задавать, изменяя положение винта В. На расстоянии Ь от начала координат осуществляется неупругий удар молоточка о преграду, например о неподвижный сердечник катушки, с мгновенной потерей части кинетической энергии. Процесс удара описывается уравнением
где (dx/dt)0 — скорость молоточка до удара, (dx/dt)1 — скорость после удара, fi — коэффициент восстановления (fj, = 1 при абсолютно упругом ударе, jj, = 0 при абсолютно неупругом ударе). Пусть L — коэффициент самоиндукции, R — омическое сопротивление, т — масса молоточка, А; — коэффициент упругости его ножки, у — ток в цепи, gy — сила притяжения со стороны электромагнита. Тогда, пренебрегая силами вязкого трения, действующими на молоточек прерывателя, и считая, что разрыв цепи происходит мгновенно и без искры, получим уравнения динамики:
уравнения движения электромагнитного прерывателя имеют вид
где точками обозначено дифференцирование по безразмерному времени и введены безразмерные параметры
Таким образом, рассматриваемая система характеризуется четырьмя существенными параметрами: ?, Р, р, ц., изме-
(4.52)
т "Ж + кх = ёУ' L -JT + 11 ( ' ) 'J = Е;
Д(*) = (
IR, если х^а, (оо, если х^>а.
В безразмерных переменных kR
R
X + X = у, у х -f- х — 0,
хг = — рх0
У + РУ = Р (х < I),
У = 0 (I < х < Р)
(* = Р),
(4.53)
(4.54)
(4.55)
108
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
Рис. 4.42
няющимися в пределах —оо <С 6 <С Р <С + оо, 0 р <С
< оо, 0 jj, 1. Фазовое пространство системы является трехмерным (х, у, ъ = х) при гС ^ и двумерным (х, у —0, z) ири ? х Ь, причем фазовая полоса (?<” х Ь, у = 0) «склеена» с фазовым полупространством (х ^ ?)
вдоль прямой х = у — 0 (рис. 4.42). Движение изображающей точки в фазовом пространстве происходит следующим образом; перемещаясь в фазовой полосе, изображающая точка приходит на граничную прямую х = = у = 0, после чего совершает переход в фазовом полупространстве согласно уравнениям (4.53). Попав на граничную плоскость х = ?, изображающая точка мгновенно (в соответствии с предположением о мгновенном спадании тока у при размыкании цепи) переносится вдоль прямой х = ? + 0, z = const на границу фазовой полосы, после чего продолжает двигаться в фазовой полосе согласно уравнениям (4.54). Из точки х = |3, z = х0 она совершает мгновенный скачок в точку х = |3, z = хх (уравнение удара (4.55)) и далее движется в фазовой полосе согласно уравнениям (4.54) до прихода на граничную прямую х = ?, у = 0. Затем описанный процесс повторяется. Если начальная и конечная точки совпадают, то траектория оказывается замкнутой. Структура фазового пространства позволяет свести исследование его разбиения на траектории и отыскание, в частности, замкнутых кривых к рассмотрению точечного отображения Т полупрямой х = ?, у =: 0, z < 0 в себя. Отображение Т = Т2-Тг можно представить в виде двух преобразований, проведенных последовательно: преобразования Тх точек нижней полупрямой (х = 1, у = 0, z <с 0) в точки верхней полупрямой (х = у — 0, z 0), порождаемого траекториями в фазовом полупространстве, и преобразования Т2 точек верхней полупрямой в нижнюю, порождаемого траекториями в фазовой полосе, включая скачок изображающей точки вдоль границы х = р. ,
Согласно обозначениям на рис. 4.42, отображение Т2 можно записать в виде функции соответствия щ =
