Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 38

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 125 >> Следующая


1) все траектории являются скручивающимися, предельные циклы отсутствуют (рис. 4.44, а), в системе нет периодических движений, связанных с разрывом электрической цепи;

2) в фазовом пространстве существует один устойчивый предельный цикл, соответствующий точке у* на рис. 4.44, б;

3) существуют два предельных цикла, соответствующие точкам v* и v* на рис. 44.4, в: внешний цикл устойчивый, а внутренний — неустойчивый;

4) существуют одновременно три предельных цикла (точки v*, v*, и* на рис. 4.44, г): внутренний и внешний циклы устойчивы, а средний — неустойчивый.

В соответствии с этими случаями пространство параметров системы разбивается на области значений, при которых топологическая структура разбиения фазового пространства на траектории остается одинаковой. Уравнения границ указанных областей находятся из условия изменения числа точек пересечения кривых и = и (v) и ui — ui (v) H?i диаграммах Ламерея, изображенных на рис. 4.44. Исчезновение одной точки пересечения с уходом в начало координат приводит к границе I I | = I Р I-Другая возможность изменения числа точек пересечения состоит в слиянии двух точек с их последующим исчезновением. На этой границе должны быть выполнены условия

/ \ . du 1 du

u(T) = u1, vTi(T) = vTi,

Подставляя сюда выражения входящих в эти соотношения величин и (т), и1: vTt (т), иТг, получаем параметрические уравнения границы

(1 + р2) ? = h (р, т) -1^7/2 (Р, т),

(1 + р2)2 (Р2 - Iй) =

= и {и/г (р, Т) [/2 (р, т) — 2/3 (р, т)] _ [/з (р, т)]2},
§ 4] ' ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ 113

где введены обозначения:

г / , » , 1 — р sin Т — е~рХ

МР.т) = р* +--------------,

/г (Р’ т) = Р [1 — e-pT(cosx + psinx)],

/l(P„) = 2P-(P+l±^)(l-^), « =

(О < т <| 2п).

В качестве примера на рис. 4.45 приведено разбиение плоскости параметров (|Зг — g2, g) при фиксированных

значениях и = 1, р = 1. В выбранных таким образом переменных следует рассматривать всю плоскость, за исключением полностью заштрихованной части, так как эта область не соответствует никаким действительным значениям физических параметров. Качественный характер разбиения этой плоскости, изображенный на рис. 4.45, сохраняется и при значениях х и р, отличных от единицы.

Диаграммы Ламерея на рис. 4.44 показывают, что в рассматриваемой системе все существующие периодические движения являются простыми (т. е. фазовая траектория предельного цикла замыкается после одного оборота). В системе не может быть сложных периодических движений в силу того, что кривые и = и (т) и и = и (т) непрерывны и ни в одной точке первого квадранта не имеют отрицательного наклона касательной.
114 ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4

Период автоколебаний равен т0 + т2 + т2, где т0 является корнем трансцендентного уравнения

Г (* — X) cos То -f х — е~рт° _

1, sin т0 Р

+ (р* + 1)Ч1-И2)(Ра-1а).

a tj и т2 определяются выражениями Tj.— arccos v2 >

_ ....... 5P + HV (»* + ?- Pa) № (V* + У - Pa) + Pa- У]

x2 — arccos pa + ^2 („2 + {1 _ pa)

куда нужно подставить значение
Г Л А В А 5

КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

В этой главе будут рассмотрены некоторые свойства динамических систем, уравнения движения которых могут быть представлены в виде

S

2 (а]кЯк + к + с]КЯк) ~ к—1

ftfj (яi> • • ¦ ’ 4si Ч21 • • • ’ i s’ О Fj (t)

(/=1,2,...,*), (5.1

где ад, CjK, dJk = —dw (djj = 0) — постоянные коэффициенты; jj (qx, q2, . . ., qs, ql7 (2, . . ., rjS, ?)*) — нелинейные функции обобщенных координат (qK), обобщенных скоростей ((к) и времени; F}- (t) — функции времени; ц — малый параметр. При = 0 система уравнений (5.1) становится линейной, при цФ 0, но достаточно малом, динамическая система близка к линейной и поэтому называется «квазилинейной». Будем предполагать, что коэффициенты йд, Cjn и йд таковы, что характеристическое уравнение линейной однородной системы уравнений

3

S (ajJr?!c + djk(ik + С]кЧк) = 0 (/— 1, 2, . . ., s)

ft=l

имеет чисто мнимые корни. Члены dj^q^, входящие в левую часть уравнений (5.1), называются «гироскопическими членами» или «гироскопическими силами». Сумма работ этих сил на действительном перемещении динамической системы равна нулю. Название «гироскопические» про-

*) Будем в дальнейшем предполагать, что функции fj обладают свойствами, позволяющими проводить с ними необходимые операции.
116 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5

исходит от того, что такие силы появляются в динамической системе, если она имеет в своем составе гироскопы. Однако гироскопические члены могут появиться и в системе без гироскопов, но при наличии нестационарных связей [24]. Заметим, что рассматриваемые нами динамические системы при Fj (t) = 0 являются системами, в которых при |х = 0 действует закон сохранения энергии, и если гироскопические силы в системе отсутствуют, то эти динамические системы при jj, = 0 будут консервативными.
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed