Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
СИСТЕМЫ! С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
119
щимися функциями времени. Исходя из этого, предположим, что функции а и Ъ меняются столь медленно, что их изменением за один период колебаний исходной системы можно пренебречь. Будем также считать, что daldx и db/dx, имеющие порядок [х, в течение одного периода постоянны. Умножая теперь обе части уравнений (5.11) на dx и интегрируя от 0 до 2п, получаем
da
/(acost+bsinr, —asint+ b cost) sin xdx,
dx
о
2Я
/(a cost + bsint, — a sinT + b cost) cos t dx.
(5.12)
Эти уравнения отличаются от уравнений (5.11) тем, что в правых частях этих уравнений стоят средние интегральные за периоды 2л от правых частей уравнений (5.11). Вводя обозначения
Р(а,Ь) —
2Я
= —- ^ f(a cost + b sin т, — a sin т + b cos t) sin т dx,
о
2Л
Q(a,b) — ^ ^ /(acost + bsint, — a sint + bcost) costdt, о
перепишем уравнения (5.12) в виде
da = ц P(a,b), -%- = №(а,Ь). (5.13)
dx г* v > /> fa
Эти уравнения называются «укороченными» или уравнениями Ван-дер-Поля. Из уравнений (5.13) получается, что
db ___ Q (а, Ь)
da Р (а, Ь)
(5.14)
Уравнение (5.14) позволяет исследовать поведение интегральных кривых на плоскости ab.
Очевидно, что состояние равновесия а = О, b = 0 на плоскости аЪ согласно (5.5) соответствует состоянию равновесия q = 0, q* = 0 для исходной динамической системы. Состояния равновесия системы (5.14), для которых а ф О, Ъ ф 0, соответствуют периодическим движениям
120
КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
для исходной системы. Следовательно, изучив состояния равновесия уравнения (5.14), а также расположение фазовых траекторий на плоскости аЪ, можно судить о возможных движениях исходной динамической системы. Этот прием был впервые предложен А. А. Андроновым [3]. Переход к полярным координатам в системе уравнений
(5.13) позволит ответить на вопрос о поведении интегральных кривых на плоскости qq*. Пусть
а = р cos Ф, Ъ = р sin ¦&; (5.15)
тогда
dp л • n dO
-J— = —4— COS и — р sin V —7— .
dx dx r dx ’
db dp . „ „ dft
- ¦ -j— sin гг + p cos ii
dx dx 1 ^ dx ’
a cos т + b sin т = p cos (Ф — t),
— asinr + &cost= — psin(ft — т).
После подстановки этих выражений в уравнения (5.12) получим
dp n . (\ dft
-г- cos v ¦— р sin гт -j— = dx r dx
2Л
=-------/ [р cos (т — ft), — р sin (т — д1)] sin х dx,
о
dp • q, , о. dft
-^rsinO + pcosO-5r =
ЗЯ
jjj- ^ / [р cos (т —- й), — р sin (т — ¦&)] cos т dx,
о
откуда находим dp dx
ДО
=---------т^~ ^ / fP cos (т — р sin (г — d)] sin (т — §) йт,
о
2Л
р4т'== "IrS /tpcos(r -•&), — рsill(т — •&)]cos(т —ft)^.
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
121
Поскольку подынтегральные функции периодические, то, введя замену ? = т — Ф, окончательно получим
-§г=иф(р)’
(5.16)
dx
где
^(р),
Ф
(р) =----^ ^ / (Р cos I, — р sin ?) sin I dl,
(5.17)
2Я
T = *2SjT $ / (Pcos g,-psing) cos?dg.
0
Первое уравнение системы (5.16) не зависит от O', и фазовая плоскость для него вырождается в прямую. Состояния равновесия этого уравнения располагаются на фазовой прямой. По характеру и расположению этих состояний равновесия можно полностью определить качественную картину поведения координаты р.
Координаты положений равновесия уравнения
-? = ЦФ(Р) (5-18)
являются корнями уравнения
Ф (р) = 0. (5.19)
Рассмотрим поведение изображающей точки около какого-либо состояния равновесия уравнения (5.18). Пусть р = р0 является корнем уравнения (5.19). Введем новую переменную и, характеризующую поведение изображающей точки вблизи состояния равновесия р = р0:
р = р0 + и.
Уравнение (5.18) при этом примет вид
-1Г=Фф (Ро + “)•
Разлагая функцию Ф (р0 + и) в ряд по степеням и:
