Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Ф (р0 + и) = Ф' (р0) и + члены высших порядков мало-
сти и ограничиваясь членами с первой степенью и, получим уравнение первого приближения du ,
122 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
При достаточно малом и, когда членами высших порядков в разложении функции Ф (р0 + и) можно пренебречь, по знаку производной Ф' (р0) можно судить о характере состояния равновесия р = р0.
Если
Ф' (Ро) < О,
то состояние равновесия устойчиво, так как при этом du/dx < 0 и и -*¦ 0. При Ф' (р0) 0 состояние равновесия
неустойчиво *).
Интегрируя уравнение (5.18), получим закон движения изображающей точки по фазовой прямой:
р
И (т - Т0) = J , где р' = pt=v
Р'
Перейдем теперь к рассмотрению уравнения
-?=фЧ'(р).
Если 'Р (р) = 0, то =0 и $ = •д'д — постоянное число.
Значит, на плоскости аЪ все интегральные кривые представляют собой прямые, проходящие через начало координат. Движение изображающей точки по всем этим прямым происходит одинаково. Со-
стояния равновесия наплоско-сти аЪ целиком заполняют ¦у дуги окружностей, радиусы которых являются корнями уравнения (5.19). Плоскость аЪ для случая, когда уравнение (5.19) имеет корни р2 = 0,
Рг < Рз> представлена на
рис. 5.1. Выясним, какая же рис 5 1 картина будет на плоскости
qq*. В соответствии с формулами (5.5), (5.7) и (5.15) получим
q = р cos Ф cos т + р sin Ф sin т = р cos (т — Ф),
д* — — р cos •& sin т + р sin О cos т = —р sin (т — Ф).
*) Строго это доказано А. М. Ляпуновым [20].
СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ
123
Для какого-либо состояния равновесия р = будет q = рк cos (т — ¦&„),
* ¦ / а Ч (5-20)
q* = — Ps sm (т — •&„).
Это означает, что на плоскости qq* имеется замкнутая интегральная кривая — круговой предельный цикл
q% + q*2 = р I.
Если рк соответствует устойчивому состоянию равновесия, то на плоскости qq* — устойчивый предельный цикл; все соседние интегральные кривые — спирали, накручивающиеся на этот предельный цикл. Если же рй соответствует неустойчивому состоянию равновесия, то на плоскости qq* — неустойчивый предельный цикл.
Пусть теперь Y (р) не равно тождественно нулю. Предположим, что р = ри является корнем уравнения Ф (р) = = 0 *); тогда согласно второму уравнению системы (5.16)
т?-=фТ(рО, О = цТ(р*)т + О0;
изображающая точка на плоскости аЪ будет двигаться по закону
а = рк cos [fj,^ (рк) т + ft0], Ъ = pfc sin [fiY (pfc) т +
т. e. существует предельный цикл радиуса р = рк. Характер предельного цикла определяется характером состояния равновесия р = pft. Направление движения изображающей точки по предельному циклу определяется знаком V (рк). Так как сохраняет знак между окружностями, радиусы которых являются корнями уравнения Ч? (р) = = 0, то все остальные интегральные кривые представляют собой спирали, накручивающиеся на предельный цикл или раскручивающиеся с него. Отметим, что радиальные касательные у этих интегральных кривых будут только в пересечении с окружностями, определяемыми корнями уравнения Ч? (р) = 0. На плоскости qq* имеем
9 = Рй cos {[1 — jx'F (pfc)l т — #0}. q* = — р* sin {[1 — jiT (pfc)l т — O0},
*) Мы предполагаем, что корни уравнения Ф (р) = 0 не совпадают с корнями уравнения Ч'- (р) = 0, так как в противном случае получается тот же результат, что и при ? (р) = 0.
124 КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 5
т. е. круговые предельные циклы, соответствующие корням уравнения Ф(р) —0.
Таким образом, картина на фазовой плоскости для рассмотренных случаев остается одной и той же. Отличие заключается в том, что при W (р) ^ 0 имеет место поправка на частоту Аш = — (рк).
Применим рассмотренный метод к исследованию движения динамической системы, представляющей собой твердое тело, прикрепленное к неподвижной точке пружиной жесткостью с и находящееся на горизонтальной ленте, которая движется с постоянной скоростью V*) (рис. 5.2).
Уравнение движения тела имеет вид
тх + Ъх + сх = Тх,
где тп — масса тела; Ъ — коэффициент сопротивления воздуха; Тх — сила трения, возникающая между телом и движущейся лентой. Сила трения является функцией относительной скорости vrx =
= v + х. Примерный график
?Г Г Мллллл-
Рис. 5.2
Рис. 5.3
этой функции изображен на рис. 5.3. Как видно из рисунка, Т (vrx) может иметь участки, где Тх > 0 (падающие участки). Предполагая, что v^> \ ± |, разложим Тх (и + ?) в ряд по степеням х:
Тх (v + х) = Тх (v) + Т'х (v) х + JLtx(v) х2 +
+ ±т: (v) х*+^ т™ (v) x* + 1L т™ (V) & + . . .
Ограничимся приведенными членами и исключим в этом разложении члены со второй и четвертой производными, так как при осреднении они исчезнут.
