Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
которое и описывает электрические процессы в ламповом генераторе. В дальнейшем воспользуемся кусочно-линейной
Рис. 4.24
Рис. 4.25
аппроксимацией ламповой характеристики (рис. 4.25) и введем безразмерные величины
/ 1 \
§ 4] ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ 97
После этого уравнение (4.39) записывается в виде х + 2кгх + х = 0, если х < — 1, х — 2h^t + х = 0, если х >¦ — 1, (4.40)
где точкой над буквой обозначена операция дифференцирования по безразмерному времени t'. Фазовая плоскость ху (у = ±) лампового генератора разбивается прямой х = = —1 на две области Ог и 02, в каждой из которых фазовые траектории определяются соответствующим линейным дифференциальным уравнением (4.40). На границе х = —1 решения уравнений (4.40) «склеиваются» по непрерывности. Рассматриваемая модель лампового генератора характеризуется двумя существенными физическими параметрами hu h2, которые мы будем считать положительными величинами (т. е. мы предполагаем, что выполнено неравенство MS > RC, когда генератор обладает
Рис. 4.26 Рис. 4.27
самовозбуждением). Фазовые траектории разбивают прямую х — —1 на две полупрямые (х = —1, у >¦ 0) и (х = —1, у < 0), которые являются полупрямыми без контакта. Заметив, что в случае h2^> i состояние равновесия х = у = 0 является неустойчивым узлом и, следовательно, при любых начальных условиях изображающая точка на фазовой плоскости уходит в бесконечность (рис. 4.26), рассмотрим в дальнейшем случай 0<й2-<1.
Фазовые траектории при 0 < h2 <1 порождают на полупрямой (х = — 1, у 0) точечное отображение Т = = 7’, • Т2, которое можно представить в виде произведения двух отображений: точечного отображения Т2 полупрямой (х — — 1, у 0) в полупрямую (х = — 1, у < 0),
4 Н. В. Бутенин и др.
98 ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
осуществляемого траекториями области 02, и точечного отображения Тх полупрямой (х = — 1, у < 0) в полупрямую (х = — 1, у > 0) осуществляемого траекториями области О у. Найдем эти отображения. Фазовые траектории в области Ох определяются первым уравнением (4.40). Его решением при начальных условиях (t = 0, хй =— 1, г/0 = —и) будет
х = — e~k»*' ^соз сох1' + и ^ hl sin co^'j , у = ^ — и cos со^' + 1 + М sin (4.41)
В некоторый момент времени tx — Ta/cDj изображающая точка придет на полупрямую (х = — 1, у^> 0) в точку у — и’ 0 (рис. 4.27). Подставляя эти значения в (4.41) и разрешая полученные выражения относительно и и и находим функцию соответствия и = / (и') для отображения Тг, записанную в параметрической форме:
— cos Ti — Yi sin Ti , e-VlT‘ — cos rL -f- sin Tj U-- . : , U - -:
V1 + Visin Ti У1 + ?i2 sin Ti
(4.42)
Ш ' ; (Vl="^=7Tr^)*
Текущий параметр Tj имеет смысл приведенного времени пробега изображающей точки в области Ох. Поэтому из
Рис. 4.28
всех возможных значений Tj, соответствующих заданному значению и, следует брать наименьшее положительное. Согласно первому соотношению (4.42) интервал 0 < и <
§ 4)
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
99
< + оо соответствует интервалу 0 < < п. Для по-
строения графика функции соответствия (4.42) введем вспомогательную функцию
(4.43)
график которой для у 0 изображен на рис. 4.28. Используя функцию (4.43) и ее свойства: ср (—т, —т) =
= Ф (Ti Т), = + 72) eYTsin т, представим выражения
(4.42) и их производные в виде
еУЛф (Тх, — vi)
Ф (Ti, Vi)
du
V м-
Ф (Ti, ti)
у* sin Ti du'
Yi + yhi
Ф (ti, - 7i)
dTi
У1+7^ sin3 Tj dTl \f 1 y2 sin2
Yi'inTi
du du'
Ф (ть Ti)
Ф (Ti, - Vi)
Из этих выражений следует, что на интервале 0 < тх < л производная du/du' )> 0 и при изменении от нуля до я монотонно возрастает от единицы до ev‘T*, так как и /
d2u __ dr ф (ti, Ti) "I / du' \-i______
du'2 ~~ — Vi) J \ )
2(1 +Vi)V,sin11T1
~ [фК-Yi)]* fshViTl
— sin xj > 0.
При т^л — 0 кривая (4.42) имеет t/=0 асимптоту
Yi +
У1
Рис. 4.29
Таким образом, кривая (4.42) монотонно возрастает от нуля до бесконечности и имеет вид, изображенный на рис. 4.29 сплошной линией.
В случае hx 1 решение уравнения (4.40) получается из (4.41) заменой тригонометрических функций на гиперболические и (ох на ТЬу = V— 1. В результате имеем
100 ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
функцию соответствия для точечного отображения в виде
__ eVlTl — ch Tj — ух sh Tj ,_ e“Yltl - ch ti + Yx sh Ti
