Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 4] ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
109
= и± (v). Для значений v <Z v0, где = р2 _ |2, имеем, пользуясь уравнением семейства траекторий х2 + z2 = = с2 = const системы (4.54):
щ = v. (4.56)
Для значений v v0, согласно (4.54) и (4.55), получаем следующее выражение:
и\ = ^2 + а, а = (р2 - |2) (1 - ц2). (4.57)
С целью нахождения функции последования и — и (v) точечного отображения Тг воспользуемся общим решением системы дифференциальных уравнений (4.53):
х = A cos t + В sin t + 1 + С а е~Р‘, у = 1 + Сетр*.
1 —|— р
Определив произвольные постоянные А, 5, С из начальных условий t = 0, х — у = 0, z — —и, следим далее за движением изображающей точки, которая через промежуток времени т вновь приходит на граничную плоскость х ~ ?, имея аппликату z — v. Подставляем эти значения в выражения для х и х = z:
? = (&- rfr)cos т - (ы + тррг)sin т + 1 ~т~^е~рх'
V = - (е - гт?)sin т - (“ + г+р5-) C0ST + ТТ^е_рт-
(4.58)
Отсюда мы и получаем функцию соответствия и = и (v) в параметрическом представлении:
__ (1 — x)cosT + X — е~рх — psint
U (l+pa)sinx ’
ре~рх sin т — 1 + Х — (X — е~рх) cos %
(l+pa)sinT
где введено обозначение % = (1 — ?) (1 + р2)- Исследуем поведение кривых и = и (v) и иг — щ (v) в зависимости от значений параметров системы, принимая во внимание, что диаграмма Ламерея имеет смысл лишь для и О, их > 0, v '_> 0.
Кривая их — иг (v) состоит из отрезка биссектрисы координатного угла (для значений v < v0) и части гиперболы (4.57), имеющей асимптоту щ — (для у > v0). Характер поведения кривой не изменяется при любых
(4.59)
110 ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
значениях параметров, если | ? | < I Р I • При | ? | = = I Р I (? < 0, Р .> 0) кривая иг = щ (v) совпадает со своей асимптотой, а при | 5 I I PI (? < 0) она проходит ниже асимптоты, пересекая ось Ov в точке v =
= / (Е* _ р») (1 _ г*).
Переходя к исследованию поведения кривой и = и (v), заметим, что при всех значениях т, изменяющегося в пределах 0 < т < 2л, выполняется неравенство и < V. Кроме того, выражение для производной du v
dv
1 + Р2
[1 — е рХ (cos т + р sin т)]
показывает, что для и 0, v 0 производная du/dv всегда положительна. Обозначим через ф (?, р, л) =
= 2% — 1 ___е~рл числители в выражениях (4.59) при
т = я, совпадающие при этом значении т. При т -> я кривая и = и (v) приближается к асимптоте
u = v
1 + Р2
¦ (1 + е-Р"),
(4.60)
оставаясь выше нее, если ф (?, р, я) 0, или ниже нее, если ф (?, р, я) < 0. При значениях физических параметров, удовлетворяющих соотношению ф (5, р, я) = 0, функция соответствия и = = и (v) вырождается в прямую (4.60), которая получается ив второго соотношения (4.58) при подстановке в него значения т := я. (При этом первое соотношение (4.58) обращается в тождество.) Используя далее вы-
du v
, ражение —т— — ---- и разло-
Рис. 4.43 dx smt r
жения функций и = и (т) и
v = v (т) в ряды для малых значений т:
-Lt + _L 2 ф 6
и =
—
5-ра
24
т3 +
+ i-gg-т»
+ 24
+
получим различные случаи возможного поведения кривой и = и (у), изображенные на рис. 4.43. Кривая 1 относит-
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
ся к значениям параметров в области | < 0; кривая 2 получается при | = 0; кривая 3 — в области 1 > 0, ф (?> Р> я) 0; прямая 4 — при значениях параметров, удовлетворяющих условию <р (?, р, л) = 0; кривая 5 — в области значений параметров <р (|, р, л) < 0. Перейдем теперь к построению диаграмм Ламерея, которые представляют собой сочетание какого-нибудь типа кривой и = и (v) с одним из возможных (при данных значениях
a) ff)
Рис. 4.44
параметров) типов кривой их = щ (v). В результате получаем четыре диаграммы Ламерея (рис. 4.44), различающиеся числом точек пересечения кривых и — и (v) и их = их (v). Значения параметра т, соответствующие точкам пересечения этих кривых, являются корнями уравнения
[и (т)]3 — (д.2 [v (т)]2 — а — 0 . (0 < т < 2л), (4.61)
1 12
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
причем имеет место следующее утверждение: при любых значениях физических параметров в области | < 0 уравнение (4.61) может иметь не более трех корней, отличных от нуля, а в области ? О — не более одного корня, отличного от нуля. Доказательство этого утверждения, которое мы здесь опускаем, содержится в работе [10]. Из диаграмм Ламерея на рис. 4.44 следует, что возможны следующие случаи разбиения фазового пространства на траектории:
