Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 4.19 Рис. 4.20
по ломаной кривой до тех пор, пока эта траектория не пересечет кривую Г (рис. 4.20). В области 0_ изображающая точка движется на листе у) = + 1 или У] = — 1 до тех пор, пока не пересечет граничную кривую Г. Спустя время
0 после пересечения кривой Г она переходит с одного листа на другой, в результате чего траектория движения изображающей точки имеет вид, показанный на рис. 4.20. Таким образом, при любых начальных условиях изображающая точка начиная с некоторого момента времени вновь и вновь пересекает кривую Г, порождая на ней некоторое точечное отображение, которое и позволяет изучить динамику экстремального регулятора.
Найдем вид этого точечного отображения в случае, когда запаздывание 0 пренебрежимо мало, хотя и отлично от нуля *). В этом случае в области 0+ движение изображающей точки сколь угодно мало отличается от движения вдоль прямой и — и0 по закону ф = (ф0 + aul) e~t/T —auo-
*) Нетрудно видеть, что полагать 0=0 нельзя, так как при 0=0 описание (4.32) оказывается противоречивым, т. е. постанов ка задачи является некорректной.
94 ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 4
Отсюда следует, что из любого начального положения в области 0+ изображающая точка через конечный промежуток времени пересекает границу Г и в дальнейшем остается в области 0_. Поэтому для нахождения точечного отображения кривой Г в себя достаточно рассмотреть движение изображающей точки в области 0_. Решение уравнений (4.33) и (4.34) при начальных условиях t = 0, и = и0, ф = ф0 имеет вид
и — и0 + г|/, ф = Суе-Чт — а (t2 + at -|- b), (4.35)
где Cj = ф0 + аЬ, а = 2 (г)и0 — Т), Ъ — иъ0 — 2ци0Т + + 2Т2. Исключая из (4.35) время t, получаем уравнение фазовой траектории
г(и,—и)
Ф — (Фо + аио — 2ацТи0 + 2аТ2) е т —
-а(и2~ 2цТи + 2Т2). (4.36)
Из выражения (4.36) следует, что траектории плоскости Л = + 1 симметричны относительно оси и = 0 траекториям плоскости т) = — 1, поэтому для исследования динамики системы в рассматриваемом случае 0 1 доста-
точно рассмотреть точечное отображение, порождаемое на кривой Г траекториями плоскости т) = + 1, и преобразование симметрии относительно оси и = О, переводящее точку (и, ф) в точку (—и, ф). Траектории плоскости П = 4- 1 касаются кривой Г в точке щ — А/2а, поэтому порождаемое этими траекториями точечное отображение преобразует точки кривой Г, для которых — оо < и <
< щ, в точки той же кривой, для которых и щ. Подставляя в выражение (4.36) координаты начальной точки (и0 — —х, ф0 = ТА — ах2) и конечной точки (и = у, Ф = ТА — осу2), находим искомое точечное отображение в виде
[А + 2а {Т - у)]еу/т = [Д + 2а (Т + я)] е~*/т.
(4.37)
При построении графика функции последования на плоскости ху следует принять во внимание, что кривая (4.37) начинается в точке (х0 = — А12а, у0 = А12а), имеет
асимптоту у=т.Т + , а ее производная
dy 2а.х -J- Д — dx 2а у — Д
§ 4] ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ
95
положительна, так как у А/2а, х — А/2а. Соответствующая диаграмма Ламерея изображена на рис. 4.21. Из этой диаграммы следует, что точечное отображение кривой Г в себя имеет единственную устойчивую неподвижную точку х = у = и*, соответствующую^глобально устойчивому предельному
(рис. 4.22). Значение и* является корнем трансцендентного уравнения
“* = (-sr + r)thJr.
которое получается при подстановке х = у = и* в уравнение (4.37). Проведенное исследование показывает, что устойчивое периодическое движение экстремального регулятора сохраняется при любых значениях параметров Т, а, А. Найденный режим сохраняется и при произвольных изменениях параметра а, если эти изменения будут происходить достаточно медленно.
Пример 3. Ламповый генератор [8]. Рассмотрим простейшую схему генератора с индуктивной обратной связью и колебательным контуром в цепи сетки, изображенную на рис. 4.23. При выбранных положительных направлениях токов i, ia и полярности конденсатора С имеем, на основании законов Кирхгофа, следующие соотношения:
96
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
!ГЛ. 4
Отсюда получаем уравнение
+ + (4.38)
Знак коэффициента взаимоиндукции М определяется относительным расположением витков катушек L и Ьа. Пусть величина М 0. (Это означает, что при i^> 0, ia 0 для направлений токов гига, указанных на рис. 4.23, магнитные потоки в катушке L усиливают друг друга.) Зависимость анодного тока ia от сеточного напряжения1 v имеет вид кривой, по-казаннойТна рис. 4.24. Заменяя в di
р ^23 ' (4-38) производную-^- ее выражением
di di
-тг = V-
крутизна характеристики лампы (рис. 4.24), получим нелинейное уравнение
LC + [RC - MS (у)] ~ + у - 0, (4.39)
