Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Yy\ — 1 sh Tx Y — 1 sh
(4.44)
Yi-
Yh
hi_________\
При изменении тх от нуля до бесконечности величина и монотонно растет от нуля до +оо, а и' — от нуля до
значения а= 1/ —-. График кривой и — /х (и’) в этом
У Vx + 1
случае изображен на рис. 4.29 штриховой линией.
Точечное отображение Тг, порождаемое фазовыми траекториями области Ог, находится аналогично. В случае
О < Л2 < 1 функция соответствия для отображения Т2 имеет вид (см. рис. 4.27):
(Т2> — Ya) _ еЪ\ (*2, Ъ) ,,
Щ----------г— :--------- , и~---------- ;¦ ----- . (4.45)
У 1 + Y* sin т2 y! + V2sinT2
Из свойств функции ф (т, у) и выражений (4.45) следует, что при возрастании и от нуля до +°° параметр т2 уменьшается от значения т = т“, где т" — наименьший положительный корень уравнения <р (т2, у2) = Д° зна_ чения т = л. При этом иг возрастает от некоторого значения иг = и? до -f-oo. Принимая во внимание, что
dui ф (т2, Y2) ^ n d2ui ^ п
— г / \ии —5- > U, мы видим, что кри-du’ Ф (т2, -Т?2) ^ ^ F
вая (4.45) является монотонно возрастающей. При т2 —>¦ —*- л -f- 0 она имеет асимптоту
ц, =¦• еъпи +
/l + V22
Следовательно, график функции последования для Тя имеет вид, показанный на рис. 4.30. Нанесем теперь найденные кривые для точечных отображений ^ и ^ на одной диаграмме, тогда получим диаграмму Ламерея, показанную на рис. 4.31. Проведенное исследование показывает, что в рассматриваемом случае (0 <; ht < 00,
§ 41 ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ СИСТЕМ 101
О < /i2 < 1) существует единственная неподвижная точка отображения Т = Тг'Т2, которая является глобально устойчивой. Таким образом, на фазовой плоскости ху имеется только один предельный цикл, устойчивый в большом, т. е. к этому предельному циклу приближаются асимптотически (при i —>- +00) все фазовые траектории (рис. 4.32).
Проведенное рассмотрение позволяет провести разбиение плоскости физических параметров на области
различного качественного поведения лампового генератора. На рис. 4.33 дано такое разбиение, из которого видно, тто первый квадрант плоскости h-Ji2 состоит из области
Область абсолютной неустойчивости
тччччччччз
Область
I существования | предельного цинла
ЧЧч\\ч\\\Ч\\\\\\\\'Ч\\Ч'' ^
1
Рис. 4.33
'Ч
существования предельного цикла и области абсолютной неустойчивости.
Пример 4. Динамика судна, курс которого стабилизируется при помощи . двухпозиционного авторулевого [8].
Уравнение вращательного движения судна вокруг верти-
102
ПРОСТЕЙШИЕ КУСОЧНО-ЛИНЁЙНЫЕ СИСТЕМЫ (ГЛ. 4
кальнои оси, проходящей через центр масс судна, имеет вид
й2Ф
dfi
ёц>
dt
М.
(4.46)
Здесь ф — угол между продольной осью судна и неизменным направлением (заданным курсом судна (рис. 4.34)),
I — главный центральный момент инерции, h — коэффициент вязкого трения, М — момент внешних сил. Пусть М = 71/(г|)) является известной функцией угла я|з поворота руля. При М = 0 установившийся угол ф зависит от начальных условий и может принимать согласно (4.46) любое значение ф = = const, т. е. при М = 0 судно обладает многообразием равновесных состояний. Создание одного устойчивого состояния равновесия, соответствующего заданному курсу ф = 0, возможно лишь посредством перемещения руля. Одной из простейших систем автоматической стабилизации курса является двухпозиционный авторулевой, при котором руль может находиться лишь в двух положениях: i|j = ±г|)0, создавая в каждом из них равные, но противоположно направленные моменты сил М = ±М0. При этом положение руля зависит от состояния судна, т. е. является определенной функцией переменных ф и dq/dt, определяющих состояние судна. Пусть перекладка руля из одного крайнего положения в другое осуществляется при прохождении нулевого значения величиной ? = ф + Ъ dy/dt, где Ъ = const — параметр, характеризующий величину коррекции по скорости, а функция М = М (?) имеет вид, изображенный на рис. 4.35. При ? = 0 рулевая машина выключена, и угол г|) руля может принимать любое значение в интервале — 'h < ^ < + Фо-
о h2 h a bh
И переменных х= у ф, tH0B = — t, р = -j— движение корабля описывается следующими дифференциальными уравнениями:
