Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Приравнивая правые части системы (3.7) нулю, получим два алгебраических уравнения:
Р (х, у) = —xe~l/v -f- X (хп — х) — О,
Q (х, у) = xe-^'J + р (г/0 — у) = 0, (3.8)
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ
53
решения которых и определяют координаты х%, г/* особых точек на фазовой плоскости ху, соответствующие равновесным состояниям системы. Из (3.8) следует, что кривая Q (х, у) =0, представляющая собой изоклину dy/dx = Q интегральных кривых, пересекает ось у в точке у = у0, а кривая Р (х, у) = 0, представляющая собой изоклину dyldx = се интегральных кривых, пересекает ось х при х = х0 и имеет асимптоту z = Хх0! (1 + А.). В зависимости от соотношений параметров х0, у о, Я, р кривые Р — 0 и Q — 0 могут пересекаться в одной точке или в трех точках.
В качестве примера на рис. 3.6 изображен случай, когда система имеет три состояния равновесия. Для определения числа состояний равновесия в зависимости от значений параметров системы воспользуемся бифуркационной диаграммой — кривой, связывающей значения какого-нибудь из параметров с координатой состояния равновесия. Уравнение бифуркационной кривой получается после исключения из уравнений (3.8) величины х%.
1+1
Рис. 3.6
Уо=У* —
кх0
Р(1 +Хе1^*)
(3.9)
Уравнение (3.9) представляет зависимость у0 = / (г/*), а величины х0, % и р считаются фиксированными. Возможные варианты вида бифуркационных диаграмм при различных значениях хп и фиксированных значениях X и р показаны на рис. 3.7. Число состояний равновесия в системе равно числу точек пересечения прямой у0 = const с кривой (3.9) при заданном значении х0. Из вида кривых на рис. 3.7 следует, что бифуркационное соотношение между параметрами х0, у0 паходится из условия соприкосновения прямой у0 = const с одним из экстремумов кривой (3.9). Дифференцируя функцию (3.9) и приравнивая производную dyjdy^ нулю, получаем соотношение, которое вместе с (3.9) составляет систему параметрических
54 СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [ГЛ. 3
(3.10)
уравнений граничной кривои на плоскости yvx0:
х0 = filrbjle-Vu* (1 + ле1/!/*)2,
У о = У * — (1 + XeV«*),
где у% является текущим параметром.
Кривая (3.10) на плоскости у0х0 имеет вид клина, в вершине которого находится точка возврата первого рода (рис. 3.8). Форма кривой (3.10) сохраняется при всех имеющих физический смысл значениях параметров
Рис. 3.7
Рис, 3.8
X л р. При значениях параметров х0, у0 внутри клипа система обладает тремя состояниями равновесия, а при
значениях х0, у0 вне клина — одним состоянием равно-
весия. Топологический тип и устойчивость особой точки на фазовой плоскости с координатами х%, у%, соответствующей состоянию равновесия системы, определяются знаком выражений а ^ —(а + d) и А = ad — be в этой точке. В нашем случае
а = Р'х (xt_, г/*) -= —е-1/v. — X,
b = Ру (ж*, г/*) =
с = Q'v (•?*, г/J = e-vy*,
d = Qv (ж*> У*) = — p.
Согласно общей теории, уравнение А = 0 определяет границу седел, а уравнение а = 0 — границу устойчивости узлов и фокусов.
(3.11)
ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ
Подставляя в уравнение А = 0 выражения (3.11) н учитывая (3.8), получим параметрические уравнения для границы седел на плоскости х0уд, совпадающие с уравнениями (3.10). Таким образом, граничная кривая области параметров, при которых в системе имеется три состояния равновесия, совпадает с кривой рождения (или исчезновения) седловой особой точки.
Подставляя далее выражения (3.11) в уравнение о = --- 0, получаем параметрические уравнения
г/о = г/* [! — Г1'/* (Р + ^ -I- e-j/y*)],
х0 = Х~гу* [р+2Я,+Я,(Р+Я) eVv, + e-w*]
с текущим параметром у Уравнения (3.12) определяют на плоскости у0х0 другую граничную кривую. Часть этой кривой, показанной на рис. 3.8, является границей устойчивости особых точек неседлового типа. Картина разбиения плоскости параметров у0, х0 на области, различающиеся числом и устойчивостью состояний равновесия системы, показана на рис. 3.8, где кривая (3.10) показана сплошной жирной линией, а кривая (3.11) — сплошной тонкой линией. Область 1 соответствует наличию одной устойчивой особой точки на фазовой плоскости; область 2 — одной неустойчивой особой точки типа узла или фокуса; области 3—6 — трем особым точкам, из которых в области 3 две устойчивы, а третья — седло. В областях
4 ж 6 неустойчивы две особые точки, а в области 5 неустойчивы все три особые точки.
Число различных областей и взаимное расположение кривых (3.10) и (3.12) на плоскости у0х0 зависят от значений параметров X и р. Случай разбиения плоскости параметров у0, х0, изображенный на рис. 3.8, заведомо осуществляется при значениях X, Р, удовлетворяющих неравенству PJg>?i2. Рассмотрим этот случай подробнее и выясним, какие из особых траекторий, кроме состояний равновесия, могут быть на фазовой плоскости ху при различных значениях параметров х0, у0.
