Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
38
ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
болы, касающиеся прямой у - —рхх (рис. 2.19, где стрелками отмечено направление движения изображающей точки). Единственная особая точка этого семейства, как и в предыдущем случае, находится в начале координат и представляет собою устойчивый узел.
В граничном случае (5 = 1) также получаем семейство интегральных кривых параболического типа, а в начале координат — устойчивую особую точку типа узла.
Таким образом, при любых значениях физических параметров в области 8 > 0 рассматриваемая система обладает единственным глобально устойчивым состоянием равновесия: какие бы начальные условия мы не задавали, система совершает затухающие (периодические или апериодические) движения.
Это свойство является общим для всех динамических систем с полной диссипацией энергии. В самом деле, рассмотрим систему, конфигурация которой определяется п обобщенными координатами qlt q2, . . ., qn. Пусть движение этой системы характеризуется функцией Лагранжа L =
71
= Т — V, где кинетическая энергия Т — — ^ aij{q) q%<ip
i, j=1
а потенциальная энергия V = V (q) — знакоопределенная положительная функция всех обобщенных координат <7j, q2, . . ., qn. В такой системе при отсутствии других сил выполняется закон сохранения механической энергии Т + V = h (h = const). В фазовом пространстве системы (qt, q2, . . ., qn, дг, <j2, . . ., qn) выражение T + V = = h при различных значениях произвольной постоянной h представляет собою семейство вложенных одна в другую замкнутых поверхностей, стягивающихся к началу координат при h ->- 0 (аналог концентрических окружностей в примере с гармоническим осциллятором).
Пусть теперь в рассматриваемой системе имеется вязкое трение, которое полностью учитывается функцией
71
диссипации Рэлея F &i;(<?) (i(ji являющейся зна-
i, 3=1
коопределенной положительной квадратичной формой всех обобщенных скоростей с17 (2, • ¦ -,(п- Уравнения движения этой системы записываются в виде
§ 3] СИСТЕМЫ С ПОЛНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ 39
Умножим t-e уравнение системы (2.25) на qt и сложим полученные выражения. Используя затем теорему Эйлера об однородных функциях, приходим к соотношению
-*r(T+V) = -2F<0.
Отсюда следует, что при любых начальных условиях изображающая точка в фазовом пространстве (q1, g2, . . . . . qn, (г, (2, . . ., с п) с течением времени всегда пересекает семейство поверхностей Т + V = h снаружи внутрь, приближаясь к началу координат. Таким образом, точка qt = 0, qt = 0 (i = 1, 2, . . ., п) соответствует состоянию глобально устойчивого равновесия системы.
ГЛАВА 3
СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДАМИ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В этой главе рассматриваются автономные динамические системы с одной степенью свободы. Уравнения движения такой системы в общем случае записываются в виде двух дифференциальных уравнений первого порядка:
х = Р (х, у), if = Q (.X, у), (3.1)
правые части которых нелинейные, вообще говоря, функции х, у. К уравнениям вида (3.1) приводит исследование многих механических и электромеханических систем, а также радиотехнических схем. Уравнения (3.1) достаточно полно изучены методами качественной теории дифференциальных уравнений; ниже излагаются основные результаты этой теории [1—3].
§ 1. Фазовая плоскость и качественная картина разбиения фазовой плоскости на траектории
Согласно уравнениям (3.1), состояние системы второго порядка полностью определяется значениями х, //, поэтому ее фазовое пространство является двумерным, т. е. некоторой поверхностью.
В простейшем случае фазовая поверхность представляет собою обычную плоскость с декартовыми координатами х, у, а функции Р (х, у) и Q (х, у) являются аналитическими на всей плоскости. Основная задача исследования динамической системы состоит в том, чтобы выяснить качественную картину разбиения фазовой плоскости на траектории или, другими словами, установить топологическую структуру этого разбиения. Под топологической
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ
41
структурой принято понимать все те свойства, которые остаются инвариантными при топологическом (т. е. взаимно однозначном и непрерывном) преобразовании плоскости в себя.
Оказывается, что для выяснения качественной картины для системы второго порядка нужно знать поведение не всех траекторий, а лишь некоторых из них, называемых особыми траекториями. К последним относятся состояния равновесия, предельные циклы и незамкнутые траектории, у которых хотя бы одна полутраектория (т. е. кривая, описываемая изображающей точкой при t -*¦ +°° или при t —оо из начального положения точки в мо-
мент времени t = t0) является сепаратрисой какого-ни-будь состояния равновесия. Если взаимное расположение этих особых траекторий известно и, кроме того, определена устойчивость состояний равновесия и предельных циклов, то мы получаем полную качественную картину разбиения плоскости ху на траектории.
