Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Особые траектории разделяют фазовую плоскость на конечное число ячеек, поскольку из аналитичности правых частей системы (3.1) вытекает, что число особых траекторий конечно. Граница каждой ячейки состоит из особых траекторий, причем точки одной и той же траектории могут быть граничными для нескольких ячеек. Все ячейки заполнены пеособыми траекториями, поведение которых одинаково. Если все траектории, принадлежащие одной и той же ячейке, не замкнуты, то они имеют одни и те же предельные множества. Если же внутри какой-нибудь ячейки существует хотя бы одна замкнутая траектория, то все траектории этой ячейки замкнуты, одна лежит внутри другой и между любыми двумя траекториями этой ячейки не могут лежать точки, не принадлежащие этой ячейке. Основной топологической характеристикой, отличающей одну ячейку от другой, является ее связность.
Если граница ячейки состоит из одного граничного континуума, то ячейка называется односвязной, если из двух, трех и т. д., то ячейка соответственно называется двухсвязной, трехсвязной и т. д. Один из граничных континуумов многосвязной ячейки называется внешним граничным континуумом, остальные — внутренними, причем внутренние граничные континуумы могут быть, в частности, отдельными точками. Простейшим примером односвязной ячейки является область внутри окружное-
44 СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [ГЛ. 3
ти, двухсвязной — область между двумя концентрическими окружностями.
На рис. 3.1 приведены примеры более сложных ячеек: односвязной (рис. 3.1, а) и двухсвязной (рис. 3.1, б), где ячейки выделены штриховкой.
Очевидно, что ячейки с неодинаковым числом связности заведомо топологически различны. В качественной
седло
пведельные циклы
а>
б)
Рис. 3.1
теории доказывается, что всякая ячейка не более чем двухсвязна. В частности, ячейки, заполненные замкнутыми траекториями, всегда двухсвязны. Если двухсвязная ячейка заполнена незамкнутыми траекториями, то один из ее граничных континуумов является предельным множеством при t—>- +°°, а другой — предельным множеством при t —>¦ —оо для траекторий этой ячейки. Используя эти результаты качественной теории, можно исчерпывающим образом описать все возможные границы ячеек и установить условия, при которых две ячейки имеют одинаковую топологическую структуру разбиения на траектории.
Можно также показать, что в случае грубых систем (см. следующий параграф) число различных типов ячеек конечно.
Итак, если известны все состояния равновесия, предельные циклы и их характер, а также расположение сепаратрис, то это позволяет полностью установить топологическую структуру всех ячеек и их взаимное расположение, т. е. полностью выяснить структуру разбиения фазовой плоскости на траектории.
§ 21 СВОЙСТВО ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 43
§ 2. Свойство грубости динамической системы
Из физических соображений очевидно, что в дифференциальных уравнениях (3.1), описывающих движение реальной физической системы, ни один из учитываемых нами факторов не может оставаться абсолютно неизменным во времени. Следовательно, правые части уравнений (3.1), вообще говоря, изменяются вместе с входящими в них физическими параметрами. Однако если эти изменения достаточно малы, то, как показывает практика, физическая система как бы не замечает этих изменений, качественные черты ее поведения сохраняются. Поэтому, если мы хотим, чтобы уравнения (3.1) отобразили эту особенность, нужно придать им свойство грубости, а именно: при малых изменениях параметров должна оставаться неизменной качественная структура разбиения фазовой плоскости на траектории. Тем самым выделится класс «грубых» динамических систем. Грубость динамической системы можно трактовать как устойчивость структуры разбиения ее фазового пространства на траектории по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений (3.1).
А. А. Андронов и JI. С. Понтрягин дали строгое математическое определение понятия грубости для систем второго порядка; согласно этому определению динамическая система, описываемая дифференциальными уравнениями (3.1), является грубой, если существует такое малое число б О, что все динамические системы, описываемые дифференциальными уравнениями
х = Р (х, у) + р (х, у), у = Q (х, у) + q (х, у),
в которых аналитические функции р (х, у), q (х, у) удовлетворяют неравенству
\p(x,y)\ + \q(x,y)\ + \%\ + \%\ + |i|j + |^-|<б,
имеют одинаковую структуру разбиения фазовой плоскости на траектории.
Требование грубости для автономных систем второго порядка, являясь естественным с точки зрения приложений, существенно упрощает возможные структуры фазовой плоскости. Каждая из этих структур определяется конечным числом особых фазовых траекторий: состояний равновесия, сепаратрисных кривых седловых состояний
44 СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [ГЛ. 3
равновесия и замкнутых фазовых траекторий (предельных циклов). При этом состояния равновесия и периодические движения не имеют нулевых характеристических показателей и нет сепаратрисных кривых, идущих из седла в седло. Это означает, что точки пересечения кривых
