Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Устойчивость состояний равновесия легко определить по бифуркационной диаграмме, которая получается из рис. 2.3 путем несложного дополнения. Заметив, что кривая / (х, X) = 0 разделяет плоскость хХ на две области: / (х, X) 0 и / (х, X) < 0, заштрихуем область, в которой / (х, X) 0. Тогда, согласно смыслу производной /* (х, X), если точка, соответствующая состоянию равновесия х ==
характер фазового портрета
22
ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
= хк, лежит на кривой / (х, К) — 0 справа от заштрихованной области, то fx (хк, Х)<0, а если слева, то fx (хк, %)
> 0. В результате получаем бифуркационную диаграмму (рис. 2.4), на которой точками отмечены участки кривой
/ (х, К) = 0, соответствующие устойчивым состояниям равновесия, а крестиками — неустойчивым состояниям равновесия. Изучение фазового портрета системы первого порядка позволяет сделать следующий вывод: если
функция / (х) аналитическая на всей прямой, то периодические движения в системе невозможны. Однако, как будет видно из приводимых ниже примеров, в случае неоднозначности функции / (а) могут возникнуть условия, при которых в системе возможны периодические движения.
Систему первого порядка можно рассматривать с точки зрения динамики как вырожденную систему второго порядка. В самом деле, уравнение динамики автономной системы с одной степенью свободы, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид
q = F(q, 4). (2.3)
Уравнение (2.3) представляет собою оператор, который по заданным в момент времени t величинам q, д позволяет найти эти же величины в момент времени t + At. Следовательно, состояние системы с одной степенью свободы определяется двумя величинами: обобщенной коорди-
натой и обобщенной скоростью. Рассмотрим три логически возможных случая, когда динамика системы, описываемой уравнением (2.3), сводится к изучению решений некоторого дифференциального уравнения первого порядка.
1. Обобщенная координата q не входит в уравнение (2.3) явно. В этом случае уравнение (2.3) принимает вид
q = / (<?). (2.4)
Отсюда, вводя обозначение х = д, приходим к уравнению (2.1). Каков физический смысл решений уравнения (2.1) в рассматриваемом случае? Состояния равновесия для
s i] сйстймЫ ribPBoto ПорйДКа 2,4
уравнения (2.1), определяемые корнями уравнения / (х) = = 0, соответствуют стационарным движениям исходной системы. При этом координата q изменяется во времени С ПОСТОЯННОЙ скоростью (jit = Хц = const, где / (хк) = 0.
Нулевой корень уравнения / (х) = 0 соответствует одномерному многообразию состояний равновесия исходной системы, потому что уравнению (2.4) удовлетворяет множество значений q = const. Устойчивость этого многообразия определяется устойчивостью точки х = 0 на фазовой прямой х. О
2. Уравнение (2.3) может быть представлено в виде
\iq = Fx{q, (j), (2.5)
где |j, — некоторый параметр, который предполагается достаточно малым. В этом случае мы приходим к дифференциальному уравнению с малым параметром при старшей производной. Фазовая плоскость при jj, —> 0 разбивается на две области: область быстрых движений и область медленных движений (см. гл. 6). Медленные движения описываются дифференциальным уравнением первого порядка Fj (q, О = 0. Разрешая это уравнение относительно q (что, впрочем, не является существенным), получаем дифференциальное уравнение вида (2.1).
Рассматриваемый случай может возникнуть, например, при исследовании движения тела в вязкой среде, когда масса тела пренебрежимо мала. При однозначной функции / (х) такая динамическая модель оказывается вполне корректной, однако в случае неоднозначности / (х) хотя бы на некотором интервале изменения х можно прийти к противоречивой модели. В последнем случае возникающее противоречие устраняется или при помощи дополнительного постулата о мгновенном перескоке изображающей точки в некоторое положение на фазовой пря-мой^ которое определяется или из энергетических соображений, или при помощи рассмотрения предельных движений системы второго порядка при стремлении малого параметра ц к нулю.
3. Уравнение (2.3) может быть представлено в виде
~ Ф (q, q) — 0. Отсюда получаем первый интеграл движения
Ф (<7» О = const),
(2.6)
ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ СИСТЕМЫ
[ГЛ. :•
который при заданном значении произвольной постоянной h и является дифференциальным уравнением первого порядка, описывающим динамику первоначальной системы в рассматриваемом случае.
После этих замечаний общего характера перейдем к рассмотрению конкретных примеров.
Пример 1. Однофазный асинхронный двигатель [1]. Движение ротора асинхронного двигателя, статор которого питается однофазным переменным током, описывается уравнением
= (2.7)
где со — угловая скорость вращения ротора, I — момент инерции ротора, М (со) — электромеханический вращающий момент, N (со) — момент сил трения на валу ротора. Зависимость вращающего момента z ~ М (со) от числа оборотов ротора однофазного двигателя имеет вид, изображенный на рис. 2.5. На этой же диаграмме показан график зависимости z = N (со), который получается при учете сил сухого и вязкого трения. Состояния равновесия
