Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутенин Н.В. -> "Введение в теорию нелинейных колебаний" -> 9

Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.

Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.Л. Введение в теорию нелинейных колебаний — Москва, 2000. — 385 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriuneleneynihkolebaniy2000.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 125 >> Следующая


Рис. 2.5 Рис. 2.6

для уравнения (2.7), соответствующие режимам равномерного вращения ротора (или его состоянию покоя при со = 0), определяются корнями уравнения

М (со) - N (со) = 0, (2.8)

или, что то же самое, абсциссами точек пересечения графиков функций z = М (со) и z = N (со) на рис. 2.5.

1

Функция / (со) = -J- [М (со) — N (со)], график которой приведен на рис. 2.6, позволяет найти разбиение фазовой
СИСТЕМЫ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

25

прямой со иа траектории и определить на ней устойчивость состояний равновесия. Поскольку корни уравнения (2.8) расположены симметрично относительно начала координат, динамика рассматриваемой системы не зависит от направления вращения ротора. Согласно рис. 2.6, состояние покоя со = 0 ротора и его вращения с угловыми скоростями со, и со5 устойчивы, а вращения с угловыми скоростями со2 и со4 неустойчивы. Отсюда следует, что ротор такого двигателя, находясь в покое, не может прийти во вращение «без посторонней помощи». Если мы хотим, чтобы ротор вращался с угловой скоростью со5, ему следует сообщить первоначальную угловую скорость, превышающую со4.

Заметим, что аналогичным образом можно исследовать вращение любого динамически осесимметричного тела, движение которого описывается уравнением вида (2.7). Более того, приводимый ниже пример показывает, что движение системы совершенно другой природы также описывается уравнением вида (2.7).

Пример 2. Движение судна на подводных крыльях. Уравнение прямолинейного движения судна на подводных крыльях без учета килевой и бортовой качки может быть записано в виде

-%- = T(v)~S(v), (2.9)

где v — скорость судна, Т (v) — сила тяги винта и 5 (v) — результирующая сила сопротивления движению, отнесенные к единице массы судна. При заданном режиме работы двигателя сила тяги Т (v) обычно монотонно убывает с увеличением скорости, а график зависимости S (v) представляет собой возрастающую кривую, которую имеет на некотором интервале скоростей падающий участок (рис. 2.7). Наличие падающего участка па кривой S = S (v) связано с изменением условий движения судна при выходе корпуса судна из воды. При малых скоростях движения судно на подводных крыльях ведет себя как судно с обычным корпусом: с увеличением скорости сопротивление движению возрастает. Однако по мере увеличения скорости возникает гидродинамическая подъемная сила, в результате чего корпус судна постепенно выходит из воды, и на интервале скоростей, при которых судно полностью выходит из воды (рис. 2.8), сила сопротивления движению уменьшается с увеличением скорости, После
20

ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

{ГЛ. 2

этого судно переходит в режим движения на подводных крыльях. При дальнейшем повышении скорости движения судна поверхность погруженных в воду стоек с подводными крыльями почти не уменьшается, и сопротивление движению снова возрастает с увеличением скорости.

Рис. 2.7

Состояния равновесия для уравнения (2.9), которые соответствуют режимам равномерного дви?кення судна, определяются уравнением

Т (v) = S (v).

Здесь возможны случаи, когда имеется либо один, либо три режима равномерного движения судна на подводных крыльях. Согласно рис. 2.7, на котором эти случаи изображены, один режим является всегда устойчивым

ввззвав №

Рис. 2.8

(рис. 2.7, а), а при наличии трех режимов (рис. 2.7, б) движение со скоростями v± и v3 устойчиво, а со скоростью vz — неустойчиво.

Пример 3. Осциллятор с заданной энергией. Уравнение гармонического осциллятора

х + х — 0, (2.10)

где производная берется по безразмерному времени т —

~ со/ (« — круговая частота), допускает первый интеграл

** + х2 = 2 h, (2.11)
§ 2] КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА 27

выражающий сохранение механической энергии осциллятора. Пусть задана величина

2h = R2 = const.

Тогда движение осциллятора описывается дифференциальным уравнением (2.11), т. е. мы получаем динамическую систему первого порядка. Введем новую переменную Ф посредством соотношений

х — R sin ф, х = R cos ф,

(2.12)

геометрический смысл которых ясен из рис. 2.9. Соотношениями (2.12) уравнение (2.11) удовлетворяется тождественно. Най-лем из (2.12) величину х =

= — sin ф. Подставляя это выражение вместе с (2.12) в уравнение (2.10), получаем дифференциальное уравнение

Ф = 1, (2.13)

которое и описывает движение осциллятора в рассматриваемом случае. Из соотношений (2.12) следует, что введенная нами переменная ф является периодической с периодом 2л, поэтому в качестве фазового пространства рассматриваемой системы можно взять окружность, изображенную на рис. 2.9.

Согласно уравнению (2.13), изображающая точка при любых начальных условиях движется по фазовой окружности по ходу часовой стрелки с постоянной скоростью, что и соответствует гармоническим колебаниям осциллятора.
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 125 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed