Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Для нахождения предельных циклов на фазовой плоскости, к сожалению, не существует регулярных и достаточно эффективных методов, применимых в общем случае. Вместе с тем для решения вопроса об отсутствии замкнутых фазовых траекторий в ряде случаев можно воспользоваться критериями, которые приводятся ниже.
Эти критерии относятся к системе дифференциальных уравнений (3.1), правые части которых являются аналитическими функциями па всей фазовой плоскости. Сформулируем сначала критерий Бендиксопа, указывающий достаточное условие отсутствия замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий: если в некою-
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
47
рой односвязной области на фазовой плоскости выраже-
дР . dQ „ „
ние —^|—щ- знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий динамической системы (3.1).
В справедливости этого критерия нетрудно убедиться, воспользовавшись теоремой Грина
S S (¦?¦+ “?¦)dx dy=$(Р -Q dx)-
При интегрировании по замкнутому контуру, целиком состоящему из фазовых траекторий, интеграл в правой части этого соотношения обратится в нуль, в силу уравнений
/о <1 \ ти дР dQ
движения (o.l). Но тогда выражение -]—— должно
обязательно менять знак в области, ограниченной этим замкнутым контуром.
Другим критерием, который обобщает критерий Бен-диксона, является критерий Дюлака: если существует такая аналитическая функция R (х, у), что в некоторой односвязной области на фазовой плоскости выражение
— (PR) + —(QR) знакопостоянно, то в этой области не существует замкнутых контуров, целиком составленных из фазовых траекторий системы (3.1). Доказательство этого критерия проводится также с помощью теоремы Грина. Иногда об отсутствии замкнутых траекторий можно судить из общих соображений. Например, на фазовой плоскости не может быть замкнутых траекторий в случае, если не существует особых точек, или в случае, когда существует единственная особая точка, являющаяся седлом.
Аналогичные рассуждения общего характера в ряде случаев могут помочь в установлении факта существования предельного цикла. Так, например, если система обладает единственным неустойчивым положением равновесия, отображаемым на фазовой плоскости особой точкой типа узла или фокуса, и существует цикл без контакта *), охватывающий эту особую точку и притом такой, что все фазовые траектории входят в ограниченную циклом область, то особая точка окружена по меньшей мере одним (с точностью до четного числа) устойчивым предельным циклом. Вообще говоря, при указанных условиях
*) Циклом без контакта называется замкнутая кривая, которая ни в одной из своих точек не соприкасается с фазовыми кривыми.
48 СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ (ГЛ. 3
может существовать нечетное число вложенных друг в друга циклов, ни которых устойчивых циклов будет на один цикл больше, чем неустойчивых.
§ 4. Бифуркации динамических систем второго порядка
Пусть правые части рассматриваемой системы дифференциальных уравнений (3.1) зависят от некоторого параметра Я, т. е. имеют вид
х - Р (х, у, Я), у = Q (х, у, Я), (3.6)
где Р (х, у, Я) н Q (х, у, Я) — аналитические функции своих аргументов. Если при некотором значении Я система является грубой, то, согласно изложенному в предыдущем параграфе, при небольшом изменении Я качественная картина на фазовой плоскости не изменится. Однако не для всех значений параметра Я это условие может быть выполнено. В связи с этим вводится понятие бифуркационного значения параметра. По определению, значение параметра Я = Я0 называется бифуркационным, если при сколь угодно близких к Я0 значениях Я < Я0 и Я Я0 топологическая структура фазовой плоскости различна. Из самого определения бифуркационного значения параметра следует, что при Я = Я0 система является негрубой.
Поскольку качественная картина траекторий на фазовой плоскости определяется особыми элементами (особыми траекториями), только те значения параметра Я оказываются бифуркационными, при которых появляются особые элементы, имеющие негрубую природу. В том случае, когда при бифуркационном значении параметра Я на фазовой плоскости появляется только один особый элемент, говорят, что автономная система второго порядка (3.6) обладает первой степенью негрубости. В такой системе негрубые элементы могут быть одного из следующих типов:
1) сложное состояние равновесия, получающееся при слиянии двух простых особых точек (например, типа узла и седла);
2) вырожденный фокус или центр;
3) двойной предельный цикл, который может, например, получиться йри слиянии устойчивого и неустойчивого предельных циклов;
БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
49
4) сепаратриса, идущая из одного седла в другое или в нс'го же.
Соответствующие этим типам особых элементов структуры разбиения фазовой плоскости на траектории показаны на рис. 3.2—3.5. На рис. 3.2 изображены три последовательные фазы изменения поведения фазовых траекторий в окрестности двух простых особых точек: узла Ог и седла 02. При достижении параметром Я бифуркационного значения точки Ог и 02 сливаются, образуя сложную особую точку типа седло-узел (рис. 3.2, б), и затем исчезают (рис. 3.2, в). На рис. 3.3 представлена бифуркация второго типа, когда простой фокус превращается в сложный фокус (момент бифуркации, соответствующий вырождению фокуса), из которого затем рождается предельный цикл. На рис. 3.4 изображены три последовательных фазовых портрета при бифуркации третьего типа, когда два предельных цикла (устойчивый и неустойчивый) (рис. 3.4, а) в момент бифуркации сливаются, образуя полуустойчивый предельный цикл (рис. 3.4, б), и затем исчезают (рис. 3.4, в). Если рассмотреть эти картинки в обратной последовательности, то получим случай рождения двух предельных циклов из так называемого уплотнения фазовых траекторий.
