Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
a sin 20 + Р cos 0—sin 0=0, 2а cos 20 — f) sin 0 —cos 0 = 0.
Разрешая эти соотношения относительно аир, получаем параметрическое представление бифуркационной кривой Р = р (а):
а = (2 cos^)-1, р = - tg30, (2.19)
где 0 является текущим параметром. Из выражений (2.14) следует, что параметры а, р могут принимать любые действительные значения (—оо <а < +оо, —оо < Р <С + °о). Однако достаточно рассмотреть лишь область р 0, потому что случай р < 0 сводится к случаю Р 0 путем замены 0 на —0. Согласно (2.19), на полуплоскости ар, Р 0, протекают две ветви кривой Р = Р (а), соответствующие изменению 0 в интервале —л/2 < 0 ^ 0 для значений а 0 и в интервале ях/2 < 0 л; для значений
Рис. 2.12
а < 0 (рис. 2.12). Кривая (2.19) разбивает полуплоскость Р 0 на области (2) и (4). При параметрах а, р, находящихся в области (4), на фазовом цилиндре имеются четыре особые точки (рис. 2.11, а, б), а в области (2) — две особые точки (рис. 2.11, в). Для значений парамет-
32
ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. 2
ров а, р на прямой |3 = О график кривой (2.19) является симметричным относительно оси 0 = 0. В качестве примера на рис. 2.11, г изображена функция /(0) и соответствующий фазовый портрет системы, которые получаются при а < —0,5; |3 = 0. Для параметров а, р, принимающих значения а = 4-0,5; р = 0, происходит слияние трех особых точек: при 0 = 0 для а = +0,5; Р = 0 и при 0 = 4:Я для а — —0,5; |3 = 0.
Проведенное исследование показывает, что вид разбиения фазового цилиндра на траектории зависит от угловой скорости со вращения платформы и от знака разности А — С. При заданных параметрах системы и возрастании со от нуля изображающая точка на плоскости сф будет двигаться, согласно выражениям (2.14), из начала
„ о 2mal -л координат вдоль прямой р—-^—~ а. Ьсли выполнено
неравенство mal < | А — С |, то найдется такое значение со = со*, при котором изображающая точка пересечет бифуркационную кривую (2.19) и затем при со со* окажется в области (4). Критическое значение со* определяется выражением
в
?
mal
а (1 — у '*)'
\А-С\
Рис. 2.13
В случае прямой, изображенной на рис. 2.12, при переходе со через значение со = со* в сторону возрастания со фазовый портрет системы, изображенный на рис. 2.11, в, превращается в фазовый портрет, изображенный на рис. 2.11, а. В момент достижения значения со = со* на фазовом цилиндре рождается сложная особая точка типа точки возврата первого рода, которая затем распадается на особую точку типа центра и на седловую особую точку. Замкнутые фазовые траектории, охватывающие особую точку типа центра, соответствуют колебательным движениям маятника, а кривые, охватывающие фазовый цилиндр,— вращательным движениям маятника вокруг своей, оси подвеса.
Пример 2. Движение отрезка провода с током [1].
Пусть неподвижный бесконечный прямолинейный провод.
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА
33
питаемый постоянным током г0, взаимодействует с параллельным ему отрезком провода АВ длины I и массы т. К подвижному проводу АВ, удерживаемому пружиной жесткости к, при помощи перпендикулярных ему проводников подводится постоянный ток i (рис. 2.13). Возьмем за начало отсчета на оси Ох то положение провода, при котором пружина не деформирована, и обозначим через а координату провода с током г0. Будем предполагать, что отрезок АВ может перемещаться вдоль направления Ох в области г<я, оставаясь всегда параллельным неподвижному проводу. Тогда силу взаимодействия между
„ 2Ыы<\ ,
проводами можно принять равной - а^— , где значение о
определяется используемой системой единиц. Принимая во внимание силу пружины —кх, получим следующее выражение результирующей силы, действующей на провод А В :
F = — кх + 2ЬШ0 .
Отсюда следует, что сила F является потенциальной, поэтому движение провода АВ описывается функцией Лагранжа 1
L
-77? ЯГ
-2hliin In (а—х).
В безразмерных величинах
х „ 2 ыа{)
>1
к
т
к:
уравнение движения провода АВ имеет вид
1
Следовательно, параметр X и координата ?0 положения равновесия провода АВ связаны соотношением
f (So, К) 3 и ~ 10 + а, = 0,
(2.20)
которое представляет собой уравнение (2.2), рассмотренное в § 1. Согласно (2.20), бифуркационная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 2.14, где светлыми точками обозначены устойчивые состояния равновесия, а крестиками — неустойчивые. При значениях 0 <Г Л. <Г х/4 сис-
2 И. В. Бутенин и др.
34
ПРОСТЕЙШИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. 2
тема обладает двумя состояниями равновесия: устойчивым и неустойчивым, а при X < 0 (знак Я изменяется при изменении направления одного из токов) — одним устойчивым состоянием равновесия. В точке (1/а, V4) производная fi {10, X) = 0, поэтому X = V4 есть бифурка _ ционное значение параметра. Для построения фазового портрета рассматриваемой системы напишем интеграл энергии. В безразмерных величинах интеграл энергии имеет вид
