Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении Я имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Предположим, что при увеличении параметра Я ветви сепаратрисы сближаются и при некотором значении Я = Я0 сливаются, образуя петлю (рис. 3.5, б). Если при дальнейшем увеличении Я сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, в, то из петли рождается предельный цикл. Значение Я = Я0 в этом случае является бифуркационным.
Заметим, что в автономной системе второго порядка, состояние которой изображается точками на фазовом круговом цилиндре, может встретиться новый тип бифуркации, который невозможен в случае фазовой плоскости, а именно: бифуркация, связанная с рождением или исчезновением предельных циклов, охватывающих фазовый цилиндр. В отличие от фазовой плоскости, где устойчивый предельный цикл отображает автоколебательное движение в системе, устойчивый предельный цикл, охватывающий
ОсОг
Рис. 3.2
а) 5}
Рис. 3.3
Рис. 3.4
Рис. 3.5
§ 5] ПРИМЕРЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ 51
фазовый цилиндр, соответствует периодическому ротационному (вращательному) движению.
Для системы (3.4), содержащей лишь один параметр X, пространство параметров представляет собою прямую, а бифуркационные значения Я. = Я,г — точки, разбивающие эту прямую на области, в каждой из которых изменение параметра X не приводит к изменению фазового портрета. Если система (3.4) содержит два параметра X и р, тогда пространством параметров будет плоскость, разделенная на области одинакового поведения системы при помощи бифуркационных кривых. Зная структуру разбиения фазового пространства для какой-нибудь точки плоскости параметров Х/л, можно, непрерывно перемещаясь в этой плоскости, найти структуру фазового пространства для любой другой точки плоскости параметров. При этом нулшо знать лишь характер бифуркации, которая происходит в фазовом пространстве при переходе той или другой бифуркационной границы. В этом заключается эвристическая ценность теории бифуркаций [7].
§ 5. Примеры исследования конкретных систем
методамй качественной теории
В этом параграфе приводятся примеры конкретных систем второго порядка, построение и исследование фазовых портретов которых проводится при помощи методов качественной теории дифференциальных уравнений.
Пример 1. Динамика химического реактора [4]. Рассмотрим модель химического реактора, который представляет собою открытую гомогенную систему полного перемешивания. В такой системе происходит непрерывный массо- и теплообмен с окружающей средой (открытая система), а химические реакции протекают в пределах одной фазы (гомогенность). Условие идеального перемешивания позволяет описывать все процессы при помощи дифференциальных уравнений в полных производных. Предположим, что рассматриваемый химический реактор — это емкость, в которую непрерывно подается вещество А с концентрацией х0 и температурой ув *)¦ Пусть в результате химической реакции А В -|- Q образуется продукт В и выделяется тепло Q, а смесь продукта и реагента
*) В этом примере всс величины предполагаются записанными в безразмерном виде.
52 СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [ГЛ. 3
выводится из системы со скоростью, характеризуемой величиной X. Тепло, образующееся в результате реакции, отводится потоком вещества и посредством теплопередачи через стенку реактора. Условия теплопередачи характеризуются температурой степки г/от и коэффициентом со. Для составления уравнений динамики химического реактора воспользуемся законами химической кинетики, выражающими зависимость скорости химического превращения от концентраций реагирующих веществ и от температуры, законом сохранения массы (условием материального баланса), а также законом сохранения энергии (условием температурного баланса реактора).
В результате получим уравнения
il= - хегШ + Х(х„ - х),
(3,7)
-JL = хе-1/у + р (у0 _ г/),
где х — концентрация, у — температура реагента, а параметры у0, р связаны с введенными выше величинами при помощи соотношений
Ху в + ЫУС т о , ,
— —К + ш— ’ ^ — А, + со.
Таким образом, рассматриваемая модель химического реактора имеет четыре существенных параметра: х„, у0, X, Р, которые являются положительными величинами. В соответствии с физическим смыслом переменных х и у фазовым пространством системы является первый квадрант плоскости ху.
Система уравнений (3.7) имеет вид уравнений (3.1),
где
Р (х, у) = —xe-Vv + X (х0 — х),
Q {х, у) ----= хегЧ» Г» (уо — у).
Для построения фазового портрета определим прежде всего число состояний равновесия, их топологический тип и устойчивость.
