Введение в теорию нелинейных колебаний - Бутенин Н.В.
Скачать (прямая ссылка):
Р (х, у) = О, Q (х, у) = О,
определяющих координаты состояний равновесия грубой системы, являются простыми, т. е. коэффициент
рх (¦г> у) Ру У)
Q'x (ж> У) Qy (х> У)
в характеристическом уравнении
Г + ol + Д = 0, (3.2)
где а = — [Рх (х, у) -f- Qy (х, у)], не должен обращаться в нуль. Кроме того, коэффициент о также должен быть отличным от нуля, т. е. состояние равновесия грубой системы не может представляться особой точкой типа центра. Аналитическое выражение условия, которому должна удовлетворять замкнутая фазовая траектория в грубой системе, состоит в том, что величина h ¦ф 0, где
Т
/г=-^-^[Р;(ф,^) + (?у(ф, Kf)]dt, (3.3)
О
х = ф (t), у — г)) (t) — уравнения периодического движения с периодом т вдоль этой траектории.
Итак, в грубой системе существуют лишь такие состояния равновесия, для которых А Ф 0 и о ф 0, если Д > 0; лишь такие предельные циклы, для которых h Ф Ф 0; лишь такие сепаратрисы, которые не идут из седла в седло. Эти условия накладывают ограничения и на типы ячеек, возможных в грубых системах [1, 21.
В заключение этого параграфа отметим, что перенесение понятия грубости на многомерные системы встретило некоторые затруднения. Благодаря работам Смейла [5] выяснилось, что грубые системы могут быть весьма сложными и, что существенно, в пространстве параметров многомерной динамической системы могут существовать целые области негрубых систем. (Подробнее об этом, см., например, в книге [6].)
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
45
§ 3. Автоколебательные системы
Из всего многообразия динамических систем второго порядка полезно выделить системы, в которых может осуществляться периодическое изменение состояния системы. На фазовой плоскости периодическому движению соответствует замкнутая траектория. Если эта замкнутая траектория является одной из континуума вложенных одна в другую кривых, то мы имеем дело с консервативной системой. В такой системе период и амплитуда периодических колебаний зависят от начальных условий, а сама система является негрубой.
Если замкнутая траектория на фазовой плоскости является изолированной, она называется предельным циклом. Наличие устойчивого предельного цикла на фазовой плоскости говорит о том, что в системе возможно установление незатухающих периодических колебаний, амплитуда и период которых в определенных пределах не зависят от начальных условий и определяются лишь значениями параметров системы. Такие периодические движения А. А. Андронов назвал автоколебаниями, а системы, в которых возможны такие процессы,— автоколебательными [1]. В отличие от вынужденных или параметрических колебаний, возникновение автоколебаний не связано с действием периодической внешней силы или с периодическим изменением параметров системы. Автоколебания возникают за счет непериодических источни” ;в энергии и обусловлены внутренними связями и взаимодействиями в самой системе. Одним из признаков автоколебательной системы может служить присутствие так называемой обратной связи, которая управляет расходом энергии непериодического источника. Из всего сказанного непосредственно следует, что математическая модель автоколебательной системы должна быть грубой и существенно нелинейной.
Итак, наличие устойчивых предельных циклов на фазовом портрете системы является определяющим признаком автоколебательной системы. Условие устойчивости предельного цикла состоит в выполнении неравенства h <С 0, где величина h называется характеристическим показателем предельного цикла и определяется выражением (3.3). В качестве примера системы, имеющей устойчивый предельный цикл, рассмотрим модель, движение
46 СИСТЕМЫ ВТОРОГО ПОРЯДКА И ИХ ИССЛЕДОВАНИЕ [ГЛ. 3
которой описывается уравнениями
X = — у + х [1 — (х2 + у2)], у = X + у [1 — (х2 + г/2)]. (3.4)
Нетрудно убедиться в том, что закон движения х = = cos (t — t0),y = sin (t— t0) представляет периодическое решение системы дифференциальных уравнений (3.4), которое можно рассматривать как параметрическое описание замкнутой траектории
г2 + у2 = 1. (3.5)
Фазовая траектория (3.5) изолированная, потому что уравнения всех других траекторий на фазовой плоскости ху имеют вид
cos (t — tо) __ sin (t — /0)
X~ Y1 + Ce’ У~ /Г+ Се~2(-*~^
Двигаясь по этим траекториям при значении С 0, изображающая точка приближается к замкнутой траектории (3.5) изнутри, а при значениях С <С 0 — снаружи. Следовательно, замкнутая траектория (3.5) представляет собой устойчивый предельный цикл. К этому результату можно также прийти, вычислив значение характеристического показателя h предельного цикла (3.5) по формуле (3.3). В рассматриваемом случае h = —2 <С 0.
Наряду с устойчивыми предельными циклами фазовый портрет автоколебательной системы может содержать также неустойчивые предельные циклы, для которых h 0. Двигаясь в окрестности неустойчивого предельного цикла, изображающая точка постепенно удаляется от него. Обычно такой цикл играет роль границы между областями с различным поведением фазовых траекторий.
