Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
П
- П [? - Y/С*)] есть полином по Е степени п.
/=|
Полюсы функции ф+(л:, х0, Е) лежат на Г над точками •у, (лг0), а нули над
точками yi(x). Из (10.11) вытекает, что ин-
Хо + Г
теграл р(Е) = у- ^ Хя dx сохраняется при любом Е\ сравнило
вая (10.11) и (10.12), получаем динамику по t параметров у,-: Y/ =
(*2i)B_V( л/Ш)/Т[ (Y/-Y*)- (Ю.13)
Зависимость у,- от х имеет вид
У] = ± V^(Y/)/n.(Y/ - Yft). (10.14)
/г /
Все эти уравнения линеаризуются так называемой "подстановкой Абеля",
которую мы обсудим ниже. Из (10.13), (10.14) ясно, что они написаны для
совокупности точек (Q/='(Y/. ±)1 на римановой поверхности Г.
10.3. Гамильтонов формализм
355
10.3. Гамильтонов формализм стационарной и нестационарной задач для
уравнения КдФ
Все высшие уравнения КдФ имеют вид
+ тг + •••+*. ?)'. <|0Л5>
где величины /л получаются как коэффициенты асимптотического разложения
p(E) - T~]^%Rdx = -^E ^1 + /п/?п+2^;
из уравнения Риккати для х вытекает, что /" = ^ Рп(и, "',... ...,
uin))dx, где Рп - полином; /_i == const • ^ udx, /0 =
=const • ^-у dx.
В соответствии с результатом Гарднера, Захарова и Фад-деева [10.5а, Ь],
все уравнения (10.15)-гамильтоновы системы с бесконечным числом степеней
свободы. Точнее, пусть
/ = ^Р(и, и', ..., uim))dx есть любой функционал, определенный на любом
трансляционно инвариантном классе функций (например, быстро убывающих,
периодических или почти периодических по х), для которого интеграл /
сходится. Рассмотрим уравнение
*-(?•)'• (ИШ)
Этот поток на избранном функциональном пространстве определяет
гамильтонову систему, где d/dx является кососимметрическим оператором
симплектической структуры. Скобки Пуассона двух функционалов fa - ^Pa(u,
и', .. ,)dx, а=1, 2, имеют по определению вид
dx- <1<ш>
Мы будем изучать а дальнейшем только такие функционалы,
f=^ Р dx, где Р не, зависит явно от Коммутативность двух
функционалов, [/1,/2] = 0, означает справедливость формального тождества
Чг {*?-)'= (ЮЛ8)
Мы будем также формально рассматривать поток (10.16) на любом
трансляционно инвариантном классе гладких функций, где интеграл /,
возможно, и не определен. В этом общем случае
Збб
10. Метод решения периодической задачи
справедливость локального тождества (10.18) означает коммутативность
потоков {f 1) и {fi), где (fa) записывается в виде уравнения
Гарднер, Фаддеев и Захаров [10.5а, Ь] показали, что все высшие уравнения
КдФ, порожденные интегралами /",' попарно коммутируют: [/",/т] = 0.
Как уже упоминалось в разд. 10.1, мы рассматриваем поток, задаваемый
уравнением КдФ, на стационарных решениях уравнения (10.4)
0ввт. + в-1г+-+е.| + е.^- (10Л9>
где /, = у$(-т- +u3)dx, /a = Y
С общей точки зрения мы имеем два потока (fa), а = 1, 2, вида (10.16),
для которых справедливо соотношение (10.18), рассматриваемых на любом
трансляционно инвариантном классе функций. Сами интегралы (fa) могут и не
быть определенными. На множестве неподвижных точек потока (f i) мы
рассмотрим поток (f 2) как конечномерную динамическую систему. Из
соотношения (10.18) вытекает, что Q12 дает интеграл уравнения (10.20) для
неподвижных точек потока (f\):
(10.20)
Считая функционал f i = ^Pi dx невырожденным, введем обычным образом
фазовые координаты и импульсы (qu ..., qn, Ри •••, рп), где Pi =sPi(u,
..., и(л)). Выразим Q($ через (q,p). Имеем
Теорема 10.2. является конечномерным гамильтонианом потока {fi),
ограниченного на множество стационарных реше-
SU2
-5- ds поток
{f 2) является группой трансляций по х и является гамильтонианом
уравнения (10.20) (поле).
П
В случае высших уравнений КдФ мы имеем f \= Y PqCn-q>
. <7- 1
где Со =1. cn+\ = d, и ff = Ii Для 0^/^я- 1. Все потоки f^l) коммутируют,
и, следовательно, попарно коммутируют (имеют нулевые скобки Пуассона) все
гамильтонианы Q12V) при Osgz/^Irt- 1 в конечномерном пространстве {q,p).
Сле-
10.4. Функция Ахиезера и ее приложения
357
довательно, система (10.20) вполне интегрируема. Интегралы Q{f2\i) просто
связаны с другим семейством интегралов - коэф-
2л
фициентами характеристического полинома detA= Z(? -?/)•
i"0
выраженными через константы cq и производные и, и', "(2п_1),
как указано в разд. 10.2. Явная формула имеет вид
Qf2\h = 22'+'(-1Г'+Ч + +6Е,=
= "+/ + 2^ ... ^2л+1; (10.21)
где = 0 ••• (l~k+ 0/R
Гамильтонианы 0${1) выражаются через концы зон ?(. (10.21),
det А = Р(и, Е)= Z а2"+1_г?,';
i >0
Z02i+3
fc+/=i+l
-8 Z 2"QlVi,*.-,f+"- (10.22)
i + Kn l> 0
Этот формализм естественно обобщается на другие системы, допускающие
представление Лакса. Завершение интегрирования уравнений (10.19) требует
введения "угловых" переменных на общей поверхности уровня коммутирующих
интегралов. Удобными переменными на этой поверхности уровня являются
величины (у/, ±), указанные в разд. 10.2 Связь величин (у,) с потенциалом
и его производными и тем самым с фазовыми переменными задачи (10.19)
может быть получена из выражения (10.12):
*"=1тЩЩ-у 1+ ? ^).
О \ л>-1 /
Имеем, в частности,
л 2л
и(х)= - 2 Z V/W+ Z ?;• (10.23)
