Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
на почти периодический случай и на более общие операторы L.
Определение 10.3. Пусть L - оператор k-ro порядка с почти периодическими
коэффициентами (вообще говоря, комплексными и, возможно, мероморфными по
х). Мы скажем, что оператор L допустимый, если для всех комплексных Е
уравнение Еф =" ?ф
352
10 Метод решения периодической задачи
имеет "блоховское" решение ф(х, Р), мероморфное на некоторой ft-листной
римановой поверхности Г над Е-плоскостью л: Г-*~С, где Р - точка Г, и
полюсы ф не зависят от х. Требуется, чтобы логарифмическая производная
сЛпф/dx была почти периодической с той же группой периодов, что и L;
более того, функции ф(х, Pj) должны давать базис решений уравнения ?ф =
?ф, если n(Pj) = E и Е не есть точка ветвления. При Е-*-оо на каждом
листе мы должны иметь асимптотически для ф: ф/ ~ ~ ехр [ft, (х - х0)],
где ft]"1- локальный параметр для Г на этом листе [ft± = л/Е, L - -d2/dx2
+ и (х) ]. Мы назовем эту риманову поверхность Г спектром оператора L.
Определение 10.4. Мы скажем, что допустимый линейный оператор L
конечнозонный, если его спектр (поверхность Г) имеет конечный род. В этом
случае число полюсов блоховской функции ф(х, Р) равно роду.
Для дискретных (локальных) операторов L вводятся аналогичные понятия.
Важность такого понятия конечнозонного оператора видна из следующего
утверждения.
Теорема 10.1. Если трансляционно инвариантное (локальное) эволюционное
уравнение (10.1) допускает представление Лакса с локальными трансляционно
инвариантными операторами L, А, то каждое периодическое и
квазипериодчческое вещественное или комплексное (возможно, мероморфное по
х) решение стационарного уравнения /С["] == 0 определяет конечнозонный
оператор L.
Для оператора Шрёдингера L - -d2/dx2 + и {х), а также для всех операторов
L, которые возникают в теории нелинейных систем типа КдФ, доказана и
обратная теорема. Более того, во всех этих случаях стационарное уравнение
(10.4) оказывается вполне интегрируемой гамильтоновой системой, решения
которой квазипериодичны и даются в терминах 0-функций, связанных с
поверхностью Г (см. обзор [10.1]).
В периодическом случае матрица трансляции Т оператора L (порядка ft)
является функцией от х0, Е удовлетворяет по х0 уравнению
где матрица Q(x0, Е) полиномиальна по ? и выражается через и(хо), и'(хо),
... . Для случая L = - d2/dx2 + и Q имеет вид
операторы L и А коммутируют, [Л, L] ~ 0. В базисе <р; (х, х0, Е)
(10.5)
справедливо (10.4), то соответствующие
10.2. Конечнозонные линейные операторы
353
* решений Lq>j = ?ф/ оператор А задается матрицей
^Ф/ = X! ^г/Ф"> А == (^ц) " X! СдАд. i
Дл5Г нестационарного уравнения L = [Z,, А] деляется равенством
фу - Лфу = X!
Имеем уравнение
ОТ г А ТЧ
^r = tA> г1-
В стационарном случае [Л, f] = 0.
Из этого мы выводим, что блоховская функция ф/(х, х0, Е), определяемая в
периодическом случае как собственный вектор матрицы Т, является также
собственным вектором матрицы А. Сама матрица А полиномиальна по Е (если L
имеет конечный
порядок) и зависит только от Е, и(хо), и'(хо), Ввиду этого
блоховская функция ф (как собственный вектор матрицы А, локальный по хо)
определена также и в непериодическом случае.
Как собственный вектор матрицы А, полиномиальной по Е, блоховская функция
ф мероморфна на римановой поверхности Г над ^-плоскостью
det [у - А (?)] = Р(у,Е) = 0 (10.8)
и имеет правильную асимптотику при Е-*- оо.
Из этих рассуждений мы выводим, что оператор L конечнО-зонный, что и
завершает доказательство теоремы 10.1.
Если L = -d2/dx2-\-u, то tr A = 0, Р (у, Е) - у2 - R(E), где R (E) = -det
Д. В общем (нестационарном) случае мы имеем (10.7) и (10.6). Из
требования, чтобы оба этих равенства были справедливы, получаем
|?-f = [Q,A]. (10.9)
В стационарном случае выполняется
dt dQ л <ЭЛ г л ли "п 1т
dt ~ dt ~~ ' dx" "IQ' Л1- (10.10)
Это дает представление типа Лакса для стационарных уравнений (10.4) на
матрицах, полиномиально зависящих от Е. Интегралы (10.4) даются
коэффициентами характеристического полинома
det [у - А (?)] = Р {у, Е) = 0,
где коэффициенты А выражаются через и(х0), и'(х0), .... Для уравнения КдФ
и всех его высших аналогов, где L = -d2/dx2 +
матрица А опре-(10.6)
(10.7)
354
tO. Метод решения периодической задачи
+ и, риманова поверхность Г гиперэллиптическая: у2 =
= R2n+i(E) - -det А. В базисе cpi = С (х, х0, Е), <р2 - S (х, х0, Е)
матрицы А, Т вещественны, если потенциал и вещественный. Если i%± (х, Е)
= d In $±/dx, то i%' + х2 = " - Е, X = Хя + 'Х/> где
- %,= уОпХя/- Это Хя совпадает с вронскианом
2хл = Ч'+'Ф- - Ф"_Ф+=^(Ф+, Ф_)-
Имеем равенства
== С (•*•> *^0' (*^0* ^0 ^ *^0*
•ф+ = **/*' Щ ехр( i \ xRdx
('¦ S v
\ Ха
*я(*о- е) ч ,
\ Хо
? = (<*//), Хя(*о, ?)=-^. a = ^4^ = ltrT'.
Для временной динамики в силу любого из высших уравнений КдФ из (10.5),
(10.7) следует
x* = ta)'- (10.11)
Если L конечнозонный, то хя имеет вид
Ы*. Е)= *'> . (10.12)
где ?(• -границы лакун (точки ветвления Г), а Р"(х,Е) =
