Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
/=1 1=0
Угловые переменные вводятся при помощи "отображения Абеля" (см. разд.
10.4). Как будет объяснено в разд. 10.4, комплексная поверхность уровня
всех коммутирующих интегралов уравнения (10.19) является абелевым
многообразием ("тором Якоби").
10.4. Функция Ахиезера и ее приложения
Для конечнозонного оператора Шрёдингера L = -d2/dx2 + и мы получили
блоховскую функцию ф±, мероморфную на гипер-эллиптической римановой
поверхности Г рода g> 0, двулистно
358
10. Метод решения периодической задачи
накрывающей f-плоскость л: ГС. При ?-*-оо справедлива асимптотика ф ~ ехр
[± i -л/Е(х - х0)]. Совокупность полюсов функции ф D - Pi + • • • + Pg не
зависит от х, а совокупность ее нулей Qi(x), Qg(x) не зависит от х0.
Условие нормировки таково: ф = 1 для х = х0 (см. разд. 10.2).
С геометрической точки зрения мы имеем:
a) определенную риманову поверхность Г, гиперэллиптиче-скую и конечного
рода g ("алгебраическую кривую");
b) отмеченную точку ветвления Роо ("бесконечность");
c) дивизор полюсов D = Р1 + ... + Pg степени g.
Пусть w - к~х - локальный параметр в окрестности точки Poo(w = 0).
Функция ф(х, Р), зависящая от параметра х, ме-роморфна при Р ф Роо',
совокупность полюсов этой функции не зависит от х, и ф = ехр[k(х - *0)]
[1 + О(^-1)] при k-*oo (или Р-^Р"о). Такая функция однозначно
определяется кривой Г,точкой Роо и дивизором полюсов D. Строится она так:
дифференциал Q = ф-1 (dty/dw)dw алгебраичен на Г; он имеет полюсы первого
порядка в точках Ру с вычетами -1 и нули первого порядка с вычетами +1 в
точках Qj{x). Более того, й = -(х - - x0)w2dw + v, где v не имеет полюсов
в окрестности точки Рх.
Пусть (aj, %, Ь\, ..., bg)- обычный базис циклов на Г, где ai ° ci] = bi
° bj - 0, и at ° bj = 6ц. Пусть coi ag - базис голоморфных дифференциалов
на Г, таких, что ф a>k =
al
= 2га'6/ь и Bkl = <§ coy. Возьмем дифференциал второго рода ш
ьк
с единственным двойным полюсом в Роо, где фсо = 0. Возьмем
а1
также дифференциалы третьего рода Qy, имеющие только простые полюсы в
парах точек Ру и Qy с теми же вычетами, что и й. Пусть
ё 8
й = J Qy - (х - *0) со + J 6/(r)у (10.24)
1 у-i
Используем требование й = d\n ф, где ф однозначная функция. Это значит,
что ф Q = 2яг/Пу, <^>й = 2яг>гу, где числа
"I Ь1 ¦ -
my, tij целые. Мы применим эти соотношения к формуле (10.24) и используем
хорошо известное тождество
QjW
-§Й,- § со*. (10.25)
10.4. Функция Ахиезера и ее приложения
359
В результате получим
g Qk(x)
(х - лг0) = (л: - х0) ф со = ^ (c)/-[-(вектор решетки), (10.26)
ъ, *-i pk
где решетка в Се определяется матрицей Римана (2ш'б&/, Bkj). Фактор Се по
этой решетке есть тор Якоби ?(Г).
Итак, параметры щ есть "углы", такие, 4TOT]'=<2/ft, где т]А == Qj •
~ Е S a>k' Поскольку множество точек (Р;) фиксировано, мы
I Р1
имеем "отображение Абеля" (Г)(Г). Тор ?~(Г) с координатами г]* является
факторпространством Cs по решетке. Se (Г) - это симметрическая степень
кривой Г, состоящая из неупорядоченных наборов точек (Рь ..., Pg).
Функции на многообразии Sg(T) порождаются симметрическими функциями от
Р\, ..., Ре. В частности, в соответствии с формулой (10.23) для
потенциала получаем выражение
"W = -2Zn(Q,.W] + T.Et, n : Г->С. (10.27)
/=1
Отсюда уже вытекает в принципе выражение для потенциала и(х) через 0-
функции в соответствии с учебниками по римано-вым поверхностям и 6-
функциям; см., например, [10.6]. Наиболее удобное выражение получается
через 0-функцию Римана
"(*)= - 2 -J-т!п0 [т1(r) + Ф/, (дс - *0) - /Ср'...] + о, (10.28)
/Я ч Рк (*о)
Ki=i(Е )- ^-Е S
\fe*=l / k ОО
где риманова 0-функция определяется рядом
6 Oil \) =
= Yj (10.29)
т,, .... mg \ 1, к k )
Временная зависимость потенциала в силу уравнения КдФ (или высшего КдФ с
номером q~^\) может быть получена из асимптотик при Р-э-Роо -
Ф -ехр[Ь + k3t}[ 1 + О (|)] (10.30)
или
ф~ехр[Ь + Р2(?+1(А!)/][1 + 0(х)].
360
10. Метод решения периодической задачи
где Р27+1 - полином от k степени 2q-\-\. Отсюда вытекает формула
и (х, t) = - 2 In 0 (x<U + tW{q) + <U0) + с, (10.31)
где W0)0 - периоды по циклам bj некоторых дифференциалов с полюсами в
Р0с, аналогично зависимости от х. Фактически системы (10.13), (10.14) для
зависимости от х и от t записаны на многообразии Sff(r), и угловые
параметры цк вводятся на торе f (Г) при помощи отображения Абеля. Таким
образом, динамика всех высших уравнений КдФ дается прямолинейными
обмотками на торе f (Г). Сопоставляя с предшествующими рассмотрениями, мы
видим, что для вполне интегрируемой системы
(10.19) комплексная поверхность уровня всех коммутирующих интегралов
является абелевым многообразием, бирационально изоморфным f(T). Если
потенциал и вещественный и ограниченный для всех х и /, то точка (Qu ...,
Q6)eSe(F) движется в силу систем (10.13), (10.14) по вещественному тору
T8czf(T), являющемуся произведением циклов а;, Те = а\ X • • • X Qi -
(V/> ±)еа,-. Циклы as на Г выбираются как прообразы лакун по отношению к
проекции я на Е-плоскость. Некоторые конкретные вычисления и приложения
