Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 136

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 156 >> Следующая

можно найти в обзоре [10.1].
Новые приложения функций типа функции Ахиезера найдены в недавних работах
[10.7], [10.8].
Следуя [10.7], рассмотрим произвольную алгебраическую кривую Г (не
обязательно гиперэллиптическую) и точку Рас на ней (не обязательно точку
ветвления).
Выберем локальный параметр w = k~x около точки Poo(w = 0) и дивизор
полюсов D = Pi + ... Pg степени g. Пользуясь указанной выше конструкцией,
построим "функцию Ахиезера" ty(x,y,t,P) с полюсами в дивизоре D и с
асимптотикой
ф ~ ехр [kx + am (k) у + |3" (k) t]
около Роо', am(k) и §n{k)-полиномы степеней тип соответственно.
Справедливы следующие утверждения:
a) можно найти операторы Lm и Ln по х порядков тип с постоянными старшими
членами, такие, что
Ц- = Етф, =/""ф; (10.32)
b) выполнено соотношение совместности
[¦ду" " Lm> ^n] = 0, (10.33)
эквивалентное нелинейным уравнениям Захарова - Шабата для коэффициентов
операторов Lm, Ln\
10.4. Функция Ахиезера и ее приложения
361
с) если ат = k2, = k3 -f- Mi, то
г , . d3 . " / d , d \ ... d .
^=-^+ы' ?'3 = -4^т + з(и-5Г + -5Ги) + Л^г + 01.
(10.34)
Соответствующее нелинейное уравнение (10.33) совпадает с двумерным
уравнением КдФ или уравнением Кадомцева - Пет-виашвили [10.9] для
поперечных возмущений решений уравнения КдФ
3 ди _ dw
d) если am(k)-главная часть разложения по k алгебраической на кривой Г
функции/(Р) с единственным полюсом в Рм, то функция ф имеет вид
ф =ехр [fy] ф0 (*> t, Р),
и коэффициенты операторов Lm, Ln не зависят от у. Из этого вытекает, что
каждой такой функции / с единственным полюсом в Рою (пусть t - 0) можно
естественно сопоставить оператор L/ по х [строится целая коммутативная
алгебра операторов, изоморфная всему кольцу Л (Г, Рою) таких функций с
полюсами в Рою]. Это приводит к интересной классификации коммутативных
колец дифференциальных операторов. Коэффициенты этих операторов и функция
ф выражаются через 0-функцию Римана.
В недавних работах, которые мы не будем здесь обсуждать, алгебро-
геометрические идеи и функции типа функции Ахиезера применялись к
обратной задаче для двумерного уравнения Шрёдингера с периодическими
коэффициентами (см. [10.8]). Эти методы могут применяться также и в
высших размерностях п>2.
В заключение отметим, что большая часть настоящей статьи основывается на
цикле работ автора, Дубровина, Матвеева и Итса, выполненных и в основном
опубликованных в 1974 г. (см.
[10.3], [10.10]), а также на работе Лакса [10.11а]. При написании разд.
10.3 я также использовал результаты более поздних работ Лакса [10.11b],
Гельфанда и Дикого [10.12] и Новикова и Богоявленского [10.13], [10.14].
В конце разд. 10.4 я использовал недавнюю работу Кричевера [10.7]. Часть
результатов теории одномерного уравнения Шрёдингера с периодическим
конечнозонным потенциалом, использующих абелевы многообразия, была также
получена в 1975 г. Маккином и Ван Мёрбеке [10.15]. Более подробное
изложение этой теории, содержащее историю вопроса и библиографию, можно
найти в обзоре [10.1],
362
10. Метод решения периодической- задачи
ЛИТЕРАТУРА
10.1. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Матвеев В. Б. - УМН 31, 55 (1976).
10.2. Moser J. - Adv. Math. 16, 354 (1975).
10.3. Дубровин Б. А., Новиков С. П. - ДАН СССР 219, 19 (1974); ЖЭТФ 67,
2131 (1974).
10.4. Gardner С. S., Green J. М., Kruskal М. D., Miura R. M. - Phys. Rev.
Lett. 19, 1095 (1967).
10.5a. Gardner C. S. - J. Math. Phys. 12:8, 1548 (1971).
10.5b. Фаддеев Л. Д., Захаров В. Е. - Функц. анализ, 5:4, 18 (1971).
10.6. Krazer A. Lehrbuch der Thetafunktionen. - Teubner, Leipzig, 1903.
10.7. Кричевер И. М.-ДАН СССР, 227, 2 (1976); Функц. анализ 10, 75
(1976).
10.8. Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. - ДАН СССР 229:1, 15
(1976).
10.9. Кадомцев Б. Б., Петвиашвили В. И. - ДАН СССР 192:4, 753 (1970).
10.10. Новиков С. П. - Функц. анализ 8, 54 (1974).
10.11а. Lax P. D. - Lect. Appl. Math. 15,85 (1974).
10.1 lb. Commun. Pure Appl. Math. 28, 141 (1975).
10.12. Гельфанд И. М., Дикий Л. А. - УМН 30, 185 (1975); Функц. анализ
10, 18 (1976).
10.13. Богоявленский О. И., Новиков С. П. - Функц. анализ 10, 9 (1976).
10.14. Богоявленский О. И. - Функц. анализ 10, 2 (1976).
10.15. McKean Н., van Moerbeke P. - Inventiones Math. 30, 217 (1975).
11. ГАМИЛЬТОНОВА ИНТЕРПРЕТАЦИЯ МЕТОДА ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
РАССЕЯНИЯ
Л. Д. Фаддеев
В этой главе будет обсужден особый аспект теории нелинейных эволюционных
уравнений, которые интегрируемы обратным преобразованием рассеяния. Тех
из этих уравнений, которые имеют особый физический интерес и являются
бесконечномерными гамильтоновыми системами. Точная интегрируемость
уравнений, о которых идет речь, имеет следующую интерпретацию на языке
гамильтоновых систем: преобразование данных Коши к данным рассеяния,
которое лежит в основе метода обратного преобразования рассеяния,
является нелинейным каноническим преобразованием к переменным типа
действие - угол. Эта интерпретация была первоначально предложена
Предыдущая << 1 .. 130 131 132 133 134 135 < 136 > 137 138 139 140 141 142 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed