Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
- оо
Они с точностью до постоянных множителей совпадают с важными наблюдаемыми
- числом частиц, импульсом и энергией. Окончательная формула
оо оо
Я = 5 fc2ln|a(A0Mfc--|-?U?-$) = S (1Ф*|2-1Ф14)^
- оо I -оо
дает искомое выражение гамильтониана в терминах данных рассеяния.
Найдем теперь форму й. Для этого выразим вариации 6ф и бф функций ф и ф в
терминах вариаций данных рассеяния. Воспользуемся уравнением Гельфанда -
Левитана. Определим резольвенту, т. е. ядро Tx(y,z), такое, что решение
уравнения
оо
f(y) +g(y)+\f(z)F(z +y)dz= 0, у>х,
X
представимо в форме
ОО
f (.у) = -g (у) - \g (z) г* (у, z) dz.
X
Сопоставляя эти формулы с уравнением Гельфанда - Левитана (11.9), получим
ГЯ(У, х)-ТК'(х, У)Т, (11.12)
11.2. Полная интегрируемость
371
Вариация б/С ядра оператора преобразования удовлетворяет уравнению
К(х, y) + 6F(x + y) +
ОО оо
+ ^ К{х, z)6F{z +y)dz + ^ бк(х, z)F(z + y)dz= 0.
X X
Используя резольвенту, решение этого уравнения можно представить как
бК(х, у) - - (/ + /С) б/7 (/ + Г х) (х, у).
В частности, отсюда следует, если учесть (11.10), (10.12), что
оо
6ф(л:) = ^- \ [бг (Дг) /fi (лг, k) - 6r(k)fi2(x, k)\dk +
- оо
+ ^ [бт;/?1 (х, ki) - 6m;/i2 (х, ki) + triidki-^- fn{x, k)\k=kt -
I
- fhibki-j^fuix, k)\k=k^-
Здесь использован, кроме перечисленных выше, тот факт, что матрица
&~(x,k) может быть представлена с помощью оператора преобразования в виде
ОО
V (х, k) = 8 {х, k) + ^ к (х, у) 8 (у, k) dy.
X
Подставим выражение для бф в форму Q (см. (11.4)). Соответствующий
интеграл по х может быть вычислен точно, поскольку соотношение
и\(х, k)v2(x, k') + u2(x, k)vi(x, k') =
g i(k-k') Ж^х' k')-u2{x, tyv^x, k')]
выполняется для любого решения задачи (11.7).
Окончательное выражение для Q (через данные рассеяния и их вариации)
имеет .вид
ОО
0*=-^ J \a{k)?-br{k)hbr(k dk +
- ОО
- ОО -Ьо
372
11. Гамильтонова интерпретация
/ 6kt 6kt \ 2 у f bk[ A 6kj 6fc;A6fcy\
\k- ki k- ki ) ^- ^1 ^ - kj /
у 6ki A 6kj ^ у / 6ml A 6kl 6ml A 6k{ \ _
~ ft ki-k, 2Д щ m~ У
6F (k) - a(k)b (k) 6r (k) -f a(k)b (k) 6r (k) = - 26 In I a (k) |.
Следующие комбинации данных рассеяния
P(k) = - - In I a(k) |; Q(k) = argb(k)-, - oo<?<oo; i/ = 4Rekr, ti, = -
In| dt |; ct/ = 4 Im /гг; P; = arg dr, 1=1, ...,N
содержат всю информацию о них и могут быть выбраны в качестве
канонических переменных. В них форма Q приобретет стандартный вид
оо N
Q= J 6P(k)A6Q(k)dk + (6|г Л 6ti, + 6аг Л брг).
;=i
Наблюдаемые N, Р, Н могут быть выражены через переменные типа действия:
00 оо
N = ^ \ty\2dx = ^ P(k)dk -f
- 00 -оо
00 00
P = Yi S djc = S 2кРШк + ^1*Ч>
- 00 -OO I
00 oo
н= \ 0Ф*|?-1ФГ)^= S WPWdk + ^jlhi-aVu)-
- 00 -OO I
Исходные гамильтоновы уравнения в данных рассеяния приобретают вид
Yjb{k, t) = 4ik3tb(k, t)-, -^ml(t) = Mk]tmi{t).
Все вышесказанное показывает, что переход к данным рассеяния для
нелинейного уравнения Шрёдингера является каноническим преобразованием к
переменным типа действие - угол. В следующем разделе будут обсуждены
некоторые приложения этого результата. В заключение этого раздела будут
сформулированы результаты, относящиеся к переменным типа действие - угол
для примеров интегрируемых уравнений, которые были приведены в разд.
11.1.
11.2. Полная интегрируемость
373
1. Уравнение Кортевега - де Фриза. Вспомогательная спектральная задача
[11.9]
- у" + v (дг) у = k2y; и(дс)-"-0, \х |-*-оо имеет решения с
асимптотическим поведением / (дс, k) = eikx [1 + о (1)], х -*¦ оо; g(x,
k) = e~ikx[\ -f- о(1)], х -> <зо.
Коэффициенты перехода определяются из равенств /(дг, k) = a(k)g(x, -k) +
b(k)g{х, k); f (x, ik[) = dig {x, ikt)\ a (ikt) = 0, 1 = 1, ..., N.
Переменные типа действие - угол выражаются через данные рассеяния с
помощью следующих формул [11.1]:
P(k) = ^-\n\a(k)\; Q(k) = argb(k); 0<&<оо;
h = k]-, т]г = 2 In dp, 1=1,..., N;
00
Q = jj 6P(k)A 6Q (k) dk + Y dli Л di\,;
0 I
oo
H = 8 \k3P (k) dk + Ц- Y $2-
о i
2. Уравнение sine-Gordon. Рассмотрим лишь ту форму этого уравнения,
которая соответствует конусным переменным. Вспомогательная спектральная
задача для этого уравнения такая же, как и для нелинейного уравнения
Шрёдингера с ф(дс) = = tw,, (г|) чисто мнимым [11.15, 11.16]. В этом
случае данные рассеяния удовлетворяют дополнительным соотношениям
a(k) = a{-k); b(k) = - b(-k)
и нули a(k) симметричны относительно мнимой оси. Коэффициенты перехода di
являются чисто вещественными для чисто мнимых ki. Переменные типа
действие - угол суть [11.11] (m = 1)
p(k) = - -^k lnla(*OI; Q(?) = argb(k), 0 < ? < oo;
la = " In Ла == 8 In | Ce |; fl = 1, . . ., A',
Ей = In I и-* I; % = у In I 1; ab = arg P* = --^arg^.
374
11. Гамильтонова интерпретация
Здесь Гка чисто мнимые нули a(k), ц* комплексные нули с О < argii* < у;
са и йь соответствующие коэффициенты перехода. Форма Q равна
оо
Q = \f>P(k)A б Q (й) dk + Yj Л бт1а + Y №ь А 6% + ба* Л бр").
О а Ь
Соответствующие выражения для гамильтониана Н и импульса Р
ОО
н=И2*+(r))',"'(4+Ш-"Ь+№-) +
