Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Именно эти уравнения движения, которые оказались совпадающими с
уравнениями непрерывных моделей теории поля, будут рассмотрены р
следующем разделе. Необходимо указать на два отличия выражений (12.11) от
(12.10). Первое -это калибровочное преобразование ф2->ф2, которое
реализуемо в теории непрерывного поля; оно здесь предполагается. Второе
касается перенормированной скорости (даваемой выражением v =V - У2{2л)-
1). Она не является важным параметром в континуальной теории, так как
скорость фиксируется условием перенормировки.
Логика этой процедуры состояла в анализе уравнений движения для
решеточной фермионной модели и их связи с гамильтонианом со спином 1/2.
Собственные значения решеточной задачи тоже можно вычислить. Посредством
перехода к непрерывному пределу в спектре собственных значений тем самым
можно вычислить-и интерпретировать - сами уравнения непрерывного предела.
После обзора непрерывных моделей, чему посвящен следующий раздел, это
решение будет приведено.
12.3. Уравнения непрерывного поля
В предыдущем разделе мы обсудили уравнения движения фермионного поля на
решетке при малых значениях постоянной решетки. Эти уравнения содержат
параметры, определяемые обменными константами и значением постоянной
решетки. Перед тем как начать поиск решений уравнений, полезно
остановиться
12.3. Уравнения непрерывного поля
387
на соответствующих уравнениях движения для вполне непрерывных моделей,
что поможет отчетливей представить связь между решеточными и непрерывными
моделями.
Непрерывные модели имеют преимущество локальности. Локальность
взаимодействия совместно с принципом Паули сильно ограничивает множество
различных допустимых моделей для одномерного случая. Эта идея привела к
представлению об универсальности солитона и о наличии определенных общих
черт у внешне различающихся нелинейных уравнений.
Существование пропагирующих решений нелинейных волновых уравнений имеет
чрезвычайно важное значение для физики. Осознание обилия возможных видов
нелинейности произвело отрезвляющее впечатление и поставило новые вопросы
о классификации мыслимых типов нелинейности. Может ли любое взятое наугад
нелинейное уравнение иметь "физически интересные" решения? Определяет ли
ограничение "физически интересными" решениями класс допустимых
нелинейностей?
Вопросы, задаваемые в такой общей форме, обычно остаются без ответа, но в
специальном случае двумерного пространства - времени возникает весьма
удовлетворительная картина. .Остов этой картины составляют несколько
базисных постулатов: локальность, лоренц-инвариантность, тип симметрии и
концепция частицы. Первые два постулата принимаются безусловно, как
ограничения на типы рассматриваемых теорий. Они же позволяют придать
смысл последним двум постулатам, и таким образом уменьшить изобилие
возможностей до поддающегося анализу и классификации.
Ранее предлагалось несколько имеющих историческое значение моделей,
удовлетворяющих вышеуказанным постулатам, и за последнее время эти модели
были в разной степени исследованы. У нас нет намерения перечислять здесь
основные черты этих моделей, так как существует несколько обзоров по
данной теме (см., к примеру, [12.1] и книгу Либа и Маттиса [12.2]).
Однако полезно обсудить несколько простых свойств этих моделей, поскольку
они помогут нам выяснить принципы, ведущие к классификации нелинейностей
и в конечном счете к построению решений нелинейных уравнений.
Первое такое свойство состоит в бозонно-фермионной дуальности,
описываемой популярной концепцией "операторной демократии", и относится к
неразличимости теорий, построенных на основе этих двух различных полей.
Рассмотрим модель, состоящую из свободных безмассовых фермионов, которые
могут распространяться вдоль струны в обоих направлениях. Гамильтониан Н0
дается выражением
L
Я0 = - ш ^ - фг^Ф-г); (12.12)
а
388
12. Квантовые солитоны в статистической физике
L - длина струны, использованы периодические граничные условия, и v -
скорость частицы. Операторы фермионного поля удовлетворяют соотношениям
антикоммутации
ЬМ*)> Ф* (*')]+ = [ф2(х), ф!(лг')1+ =б(лг- х'),
[М*)> 'Ы-'ОЬ = №(¦"), t2+(^')]+ = 0. (12.13)
и основным состоянием является бесконечное море Ферми заполненных
состояний. Именно возбуждения моря Ферми соответствуют физическим
процессам, бесконечная же энергия, связанная с морем, не представляет
проблемы ввиду конечности значений энергии возбуждений относительно
энергии моря.
Возбуждения характеризуются n-частичными корреляционными функциями, и
именно их расчетом мы теперь займемся. Рассмотрим сначала простейшие
одночастичные функции. Вводя фурье-образы полей выражениями
L
a}(k) = L~112 J dx^j(x)eikx (12.14)
о
с / = 1, 2 и k = 2nn/L (п - целое число), находим, что
гамильтониан Н0 из (12.12) может быть диагонализован в
виде
H0 = v XI k [at (k) ai (k) - at (k) a2 (&)], (12.15)
k
и легко можно получить типичную одночастичную корреляцион-ную функцию
(ф(*1, ^iH+0c2, t2)) = L~x X ехр [ik(Ri2 нт12)] =
