Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
382
12 Квантовые солитоны в статистической физике
или не докучая знатокам хорошо известными или неадекватными рассуждениями
и доказательствами. Эти опасности компенсируются возможностью
стимулировать интерес к какой-нибудь удивительно универсальной проблеме,
пересекающей междисциплинарные границы в невиданной до сих пор степени.
Несомненно, что осмысление такой проблемы со всех возможных точек зрения
и их объединение было бы удовлетворительной компенсацией.
Новым техническим моментом настоящей работы является введение
"непрерывного предела", что дает возможность заменить непрерывную
механику дискретной. После решения дискретной задачи переход к
непрерывному пределу совершается путем устремления расстояния между
точками к нулю и одновременного подходящего переопределения операторов. В
теории поля подобная процедура называется перенормировкой. В одномерной
фермионной задаче она может быть осуществлена в явном виде. Где-то под
этим "непрерывным пределом" скрывается универсальная проблема,
представляющая общий интерес.
Конечно, притягательная сила этой универсальной проблемы связана с чем-то
большим, чем междисциплинарный интерес. Существует много задач, казалось
бы не связанных друг с другом, но которые, тем не менее, могут быть
сведены к одной, и ее решение даст решение для всех.
Учитывая некоторые общие характеристики одномерной фермионной задачи,
такие как скалярная симметрия, лоренцева инвариантность и локальность,
можно утверждать, что именно она является такой ключевой задачей. Как раз
на эту задачу и на описание ее многогранной уникальности я хочу теперь
обратить внимание читателя.
12.2. Квантование и квантовые солитоны
Классическое СГ-уравнение, и, кстати говоря, любое уравнение движения
может давать на квантовом уровне качественно иное поведение системы.
Согласно традиционным методам, классическое уравнение квантуется, исходя
из канонических переменных действие - угол и уравнений, которым эти
переменные удовлетворяют. Это легко проделать для линейных уравнений,
однако процедура существенно усложняется для нелинейных систем и иногда
становится вообще неосуществимой. Трудности возникают во многих местах;
не последняя среди них - это появление расходимостей.
В другом подходе начинают с определения квантовых переменных. Квантовые
переменные определяются на точках решетки. Точки принадлехсат решетке,
которая покрывает пространство нужной размерности. Для одномерной системы
такой решеткой является цепочка и квантовыми переменными могут
12.2. Квантование и квантовые солитоны
383
быть любые операторы, удовлетворяющие подходящей алгебре. При таком
подходе основная трудность заключается в переходе к непрерывному пределу,
когда расстояние между соседними точками решетки устремляется к нулю.
Эта процедура очень общая, очень мощная, Но пока 4fo очень
неопределенная. Чтобы придать этому описанию большую конкретность, нужно
определить операторы на узлах цепочки. Самое простое - взять алгебру
SU(2), группу всех унитарных (2X2)-матриц с детерминантом, равным
единице. Квантовая структура задается утверждением о том, что каждый узел
решетки может находиться в одном из двух квантовых состояний. Есть много
способов интерпретировать эти два состояния. Возможно, наиболее
физической является интерпретация на языке частиц: одно состояние
отвечает присутствию частицы на узле,
другое - пустому узлу. С этой точки зрения задача с одним
уровнем на узел тривиальна и не будет рассматриваться.
Имея в виду операторы, о которых сказано выше, перейдем к вопросу о
гамильтониане или о взаимодействии между опера* торами на различных узлах
решетки. Исходя из принципа "кон* структивной простоты", предположим, что
имеется взаимодействие только между ближайшими соседями. Единственный га*
мильтониан с таким свойством имеет вид
Я = - ? JaS'jS'j+u (12.1)
1" 1
где операторы S" удовлетворяют коммутационным соотношениям
[S?, Sf/] = izafiy6n,S!. (12.2)
Здесь а, р, у суть х, у, 2-компоненты спинового оператора, j, /'
пробегают N узлов цепочки, Ja - взаимодействие между ближайшими соседями
для компоненты a, e"Pv - единичный антисимметричный тензор, б//, - символ
Кронекера. Взаимодействия между различными компонентами спинового
оператора, например, S/S/+ь не включены, так как эти члены или нарушают
комбинированную симметрию относительно отражения и обращения времени, или
могут быть преобразованы к виду (12.1) с помощью унитарного
преобразования. Если ввести еще гейзенберговские уравнения движения t'S"
= [Sf, Hs], то задача определена.
Интересно отметить, что квантовая механика этой задачи выводится из
механики квантового СГ-уравнения в непрерывном пределе, причем она
содержит фермионы, бозоны, фермионные основные состояния и простое S-
матричное описание рассеящу*. этих частиц. Действительно, связь между
операторами спина
384
12. Квантовые солитоны в статистической физике
1/2 и бозонным полем, входящим в обычное СГ-уравнение, представляет собой
