Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
k>0
= i(2n)~](Ri2-VT;l2)-\ (12.16)
где R\2 - Х\ - х2, ti2 - t\ - t2 и к ti2 добавлена бесконечно малая
мнимая часть для обеспечения сходимости суммы по k.
Сумма преобразовывается в интеграл согласно правилу У -*•
->(2 n)~*L^dk.
Операторные уравнения движения допускают и иную реализацию как
гамильтониана, так и оператора фермионного поля. Пусть определен оператор
плотности р со свойством
M>iM. Pi(- = (12.17)
что приводит к следующему соотношению коммутации этого оператора с
гамильтонианом Но-
[Pl(-*)t H0] = vkPl(-k). (12.18)
Это уравнение аналогично уравнению для гармонического осциллятора, и
можно высказать догадку, что pi(-k) является
12.3. Уравнения непрерывного поля
389
оператором уничтожения бозонного поля. Однако коммутатор [pi(-k), pi
(А')] не может равняться б{k - k'), так как согласно
(12.18) pi(-k) безразмерно. Поэтому этот коммутатор должен быть равен
[pi(-A0, Pi (k')\ = k6{k - k')t (12.19)
и р(-k) отличается множителем -y/k от канонического оператора
уничтожения. Таким образом, гамильтониан Н0 может быть записан через
оператор pt в виде билинейной формы
^o(pi) = t> J dkpt(- k)p\(k)- (12.20а)
Из (12.17) видно, что оператор pi(k) является преобразованием Фурье
плотности (х) ф>1 (х); отсюда следует, что pi (k) = pf (- k).
Аналогичное рассуждение для оператора р2(?) приводит к той же формуле, но
со знаком минус из-за отрицательного значения скорости фермиона "2". В
конечном счете гамильтониан принимает вид
оо
Я0 = 0 Jd*[Pi(*)Pi(-*) + Pa(-*)p2(*)J, (12.20b)
о
и знак минус появляется также в уравнении, соответствующем
(12.19) для р2 в случае бозонов, т. е. теперь вместо -y/k р, (- k)
оператором уничтожения будет -y/k р2(6).
Такая "бозонизированная" форма гамильтониана наводит на мысль о
существовании соответствующего бозонного представления ферми-операторов.
Рассмотрим коммутатор ЧМх) с бозонной формой Н0 из (12.20Ь). В результате
имеем
[гЫ*)> tf0] = t>Pi(?)iM*), (12.21)
что совпадаете коммутационным соотношением оператора Oi(x) и того же Но,
где
0!(л:) = Сехр[ф1(л:)], (12.22а)
ф1 (*) = ^ dkk~lpj (?)ехр(- ikx). (12.22b)
Значение константы С и поведение интеграла при больших k определяются,
если потребовать, чтобы
С2(ехр[ф1(хь ^)]ехр[-ф1(лг2, Щ = С2ехр[(ф?-ф,(л:,, f,)cpi(*2, k)>] =
390
12. Квантовые солитоны в статистической физике
равнялось правой части (12.16). Сделано обрезание интеграла для
обеспечения сходимости, и для получения правильного ответа следует
положить С2 = (2яа)-1. Это обрезание соответствует инфинитезимальной
мнимой части в (12.16) и может быть сделано нулевым после завершения
вычислений. В промежуточных вычислениях в (12,23) была использована
формула Бейкера - Хаусдорфа для оценки матричных элементов гармонического
осциллятора, что будет обсуждаться далее.
Построенный таким образом оператор удовлетворяет соотношениям
антикоммутации, поскольку для равных времен в соотношении
[<Pi(*)> <Pi (*')] = 1 у sgn (х - х') (12.24)
знак обращается, когда Oi меняется местом с другим Ot в некоторой иной
позиции. В результате оператор 0\ удовлетворяет правильным уравнениям
движения и соотношениям антикоммутации, а также коммутирует с операторами
плотности, как в (12.17). Следовательно, оператор 0\ совместно с
"бозонизиро-ванным" #о дадут правильные уравнения движения. Итак,
рассмотренные операторы взаимозаменяемы. Следует учесть, что
использование О! приводит к большому упрощению вычислений, так как любое
математическое ожидание сводится к простому гауссову интегралу,
допускающему точное вычисление.
Принято писать бозонный гамильтониан в другой форме, используя
канонические операторы рождения и уничтожения, или, что эквивалентно,
канонические импульсы и координаты. Последние величины даются выражениями
<р(*) = /(4ли)~1/2 ^ dkk~l [pi(?) + р2 (- k)] e~lkx, (12.25а)
n(jc) = u1/2(4n)_lfi ^ dk [р2(- k)- pi (k)]e~ikx, (12.25b)
и гамильтониан принимает вид
Я0 = 5^^{П2(л:) + ц2[^ф(л:)]2}, (12.26)
что завершает идентификацию операторных эквивалентов в скалярных
одномерных моделях.
Таким образом построен переход от бозонов к фермионам, и этот переход
будет основополагающим для понимания связи между солитонами, фермионами и
СГ-уравнением. По-видимому, имеет смысл обрисовать и обратный процесс-
ведущий от фер-мионов к бозонам. Промежуточной ступенью теперь является
определение нормальным образом упорядоченных фермионных операторов
плотности ф|ф или Ф2Ф2,- т. е. учитываются только матричные элементы,
рождающие частицу или античастицу
12.3. Уравнения непрерывного поля
391
(незаполненное состояние, дырка в море Ферми), и математическое ожидание
в основном состоянии вычитается. Эти операторы соответствуют бозонам, и
они задаются выражениями
: -фГ (я) 1|>, (л:): = pi(.x),
: ФП*) Ы*): = Ра (дс), (12.27)
где двоеточие означает нормальное упорядочение.
Переход от этой предварительной части к более реалистическим моделям
будет краток. Необходимо лишь рассмотреть все возможные комбинации
