Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 148

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 156 >> Следующая

операторной формулировке. Преобразование (12.31) меняет и скорость. Как
обсуждалось выше, новая, или перенормированная скорость может быть
приравнена единице без потери общности.
Вычисление "-частичных корреляционных функций привело к обсуждению
"бозонизированных" гамильтониана и фермион-ных операторов. Эти функции
можно вычислить для случая свободных частиц, g - 0, и безмассового случая
т0 = 0, но для общего случая результатов пока нет. Массовые
корреляционные функции служат интересным примером приложения
рассмотренных выше методов. Для полноты приведем соотношения
эквивалентности операторов:
"Ф/ (х) = (2яа)~1/2 ехр [- Ф;-(л:)],
где
ОО
фу (л:) = (- 1); ^ dkk~'pj(k)exp(- ikx- у а\k |) , (12.33)
- ОО
а гамильтониан равен
оо
H = v^dk {[р, (k) р! (- k) + р2 (- k) р2 (&)] +
О
+ g [p. (k) Р2 (- k) + р, (- k) р2 (6)]}. (12.34)
Исследование этих уравнений выявляет тот факт, что произведение
произвольного числа фермионных операторов всегда приводит к сложному
оператору, также являющемуся экспонентой бозонного олератора. Обычно
используют тождество
А В А+В + - [А, В] Г л
е ё = е 2 , если [А,В\ является с-числом. Формула
Бейкера - Хаусдорфа позволяет вычислить математические ожидания таких
операторов с использованием
394
12. Квантовые солитоны в статистической физике
Это равенство справедливо, когда среднее берется при любом билинейном
гамильтониане гармонического осциллятора. В частности, оно применимо и к
гамильтониану (12.34), что приводит к следующему результату:
С М (Ol (*l/l) of (*2/2) ••• ot (X2M> ^2Af)} =
[2М
- ch2qp ?(- l)!'-/ln(^ "a 7 + '°)~
Ki
2Af
-sh4X(-|)'-,|"(,"+ m"4"")! (12.35)
Ki J
Использованы следующие обозначения: xtj = д- xit ta = ti - th a ф
определяется согласно (12.31). При нечетном числе точек математические
ожидания равны нулю. Для произведений функций 02 справедлив результат,
аналогичный (12.35), но знак v' меняется.
Значение скорости, фигурирующее в выражении для корреляционных функций,
находится из коэффициента перед членом pipi в гамильтониане (12.30) после
его диагонализации. Оно имеет вид v'2 = v2 - §'2(2л)~2 и может быть
приравнено единице в результате соответствующего подбора v и g. Поскольку
скорость v'- это единственная скорость, входящая в выражение для
корреляционной функции, ее нормировка на единицу эквивалентна изменению
масштаба времени. Далее v' будет везде принята за единицу.
Однофермионная корреляционная функция иллюстрирует несколько интересных
черт непрерывной теории. Она имеет вид
(О, (jci/i) Ot (х2(2)) = - (2я)~ ( 2 a2 /2-Y. (12.36)
*12 - М2 \ *12 - М2 /
где р - sh2 ф. Множитель а2р отражает перенормировку волновой функции, т.
е. константу, включенную в определение оператора Oi. Из (12.35) следует,
что 2Л4-точечная функция конечна при а 0, после того как множитель а?
включен в 01.
Более обычная корреляционная функция порождается массовым членом,
включающим произведения 0\Ог¦ Эта функция есть
С 2М (Oi (лц/i) О? (*1/1) ... 02(*M^Af) Ot (хм?м)} =
= ехр 20 ? (- l)'~! In j , (12.37)
где 20 = е2ф. Необходимо перенормировать операторной + э. с.) посредством
множителя, отличного от а2р, а именно а20-1, и для случая СГ-уравнения
это ведет к хорошо знакомой перенорми-
12.3. Уравнения непрерывного поля
395
ровке массы (см. [12.5]). Что касается остальных операторов, то pi и р2
не перенормируются вовсе, тогда как комбинации (0,+02+ + э.с.)
соответствует иная константа перенормировки, равная а2/е-*.
При перенормировке операторов описанным образом корреляционные функции
остаются конечными в пределе а->0. И как следствие такой процедуры
предельного перехода, одновременные антикоммутационные соотношения не
выполняются, но поведение при больших расстояниях и временах, включая
сингулярность при х2 = t2, имеет правильный вид.
В решеточной теории операторная алгебра всегда относится к свойствам
внутри одной ячейки, соответствующей расстояниям, меньшим постоянной
решетки, или длины обрезания. Решеточные корреляционные функции должны
вести себя на очень малых расстояниях иначе, чем функции в непрерывном
пределе. Эти последние функции правильно описывают поведение в
асимптотической области, т. е. в области больших расстояний.
Имея этот результат для n-точечиых корреляционных функций, можно перейти
к вопросу о различиях между различными моделями, упомянутом нами в
вводных замечаниях. На некоторой стадии во все эти модели входят такие n-
точечные функции. Их форма позволяет наиболее просто сравнивать и
истолковывать различные модели.
Эти функции содержат несколько параметров, а именно скорость v, константу
обрезания а и параметр, придающий размерность корреляционной функции, 0.
Таким образом, эквивалентность между моделями устанавливается в
результате изучения соответствующих выражений для a, v и 0 в различных
моделях. Определение этих величин не имеет особого значения для физики,
так как связано всего лишь с их обозначением. Для физики важно то, что
лишь эти параметры появляются в теории.
Предыдущая << 1 .. 142 143 144 145 146 147 < 148 > 149 150 151 152 153 154 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed