Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
+ ?^(ифт+1б); ¦
ь . . .
оо
р=S (2* - if)<*>¦dk + v Е (хг - 1(а0 +
О а
+ / 1 _16ч
rLj Iу Ч М2 )
ь
3. Цепочка Тоды. Вспомогательная спектральная задача ставится на языке
бесконечномерной матрицы [11.17, 11.18]
Lqp(rt) = an_,qp(tt- l) + a"qp (п + 1) + Р"ф(о) - Aqp (о); ап - ехр (dn -
dn-l)' Pn = - jPn-Решения f(n,t,) и g[n, ?) определяются из условий
f(n,Z) = ZnV +о(1)], о->°°; Я(",?) = ГП[1 +о(1)], "-> - оо;
2Л = ? + 1; ? = егф, 0<ф<2я.
Коэффициенты перехода определяются аналогично предшествующим случаям
равенствами
f(n, t) = a(Z)g(n,
'f{n,ii) = d,g{n, Zi); а (С,) = 0; -1 < Сл < 1, /=1 К.
Переменные действие - угол даются следующими формулами: р (ф) - sin ф In
| а (е'ф) |; Q (ф) = arg Ь (е'ф); h - ?/ + • Л/= In dt;
П
Q = ^ 6Р (ф) Л 6Q (ф) dy -f Y л бг|г-о I
U.S. П риложения к задаче квантования
375
Гамильтониан может быть выражен в переменных типа действия
л
Н= j 2 sin фР (ф) d<p + ?[ip+-i^ + lnd
На этом мы закончим список примеров переменных действие - угол и отошлем
к работе [11.19], в которой найдены эти переменные для уравнения трех
волн.
11.3. Приложения к задаче квантования
Как уже говорилось выше, гамильтонова формулировка интегрируемых
уравнений наиболее удобна для их квантования. С этой точки зрения
наибольший интерес представляют нелинейное уравнение Шрёдингера и
уравнение sine-Gordon. В квантовом случае первое уравнение описывает
взаимодействующие частицы с парным 6-образным потенциалом. Второе
уравнение является нетривиальным релятивистским примером самодействующего
скалярного поля. .
Запись гамильтониана в переменных типа действие - угол позволяет описать
его спектр. Действительно, при квантовании переменные, через которые
выражается гамильтониан, переходят в коммутирующие операторы. Их спектр
определяется топологией соответствующего фазового пространства.
Следовательно, собственные значения квантового гамильтониана могут быть
получены подстановкой собственных значений переменных типа действие -
угол в классическую формулу для гамильтониана.
Проиллюстрируем это следующими примерами. Рассмотрим сначала нелинейное
уравнение Шрёдингера. Простая замена позволяет записать наблюдаемые
переменные N, Р и Н в виде
оо
n= $"p(p)<*p + ?t]i; р(р) = 7р(|-); ' л* = а/;
- оо I
00
р= \ pp(p)dp + YjPi' Pi = jliai>
н= ] р2р(р)^ + Е(1г_т|)-
- ОО I
Величина ф(р), канонически сопряженная положительной переменной р(р),
принимает значения на окружности О^ф(р)^ ^ 2л. Отсюда следует, что
переменные
а* (р) = Vp (р) е~ а (р) = Vp (р) е'ф(р)
376
11. Гамильтонова интерпретация
корректно определены и имеют следующую скобку Пуассона: {а (р), а (р')} =
й (р - р').
При квантовании операторы а*(р) и &(р) имеют обычный смысл операторов
рождения и уничтожения, действующих в фоковском пространстве. В
частности, спектр оператора
Р (р) = й* (р) а (р)
состоит из
м
р" = 2Мр-р<). (П-13)
<=1
Здесь множество вещественных чисел {pi} и число М интерпретируются как
число частиц и их импульсы. Вклады р(р) в спектры Й, Р и Й равны
м м
N' = M, и H=Zp2i
i = l < = 1
соответственно; они представляют энергию и импульс М нерелятивистских
частиц массы 1/2.
Величины щ также сопряжены переменным типа фазы, поэтому спектр
соответствующих операторов будет состоять из целых чисел. Переменные pi
сопряжены величинам qh которые могут принимать любое вещественное
значение. Отсюда их спектр должен содержать все вещественные значения.
Соответствующий вклад солитонных переменных в спектр квантовых
гамильтониана и импульса равен
N N / 2 Зч
i-1 1=1
т. е. он соответствует импульсу и энергии системы частцц с массой т/2 и
внутренней энергией - п]/12. При п = 2, 3, ... такие частицы могут быть
интерпретированы как связанные состояния п частиц массы 1/2. Член -гс3/12
есть их энергия связи. В случае п = 1 мы получаем частицу массы 1/2, т.
е. то же, что было описано выше. Их энергия приобретет вид р2, если
заменить
Н^Н + N/12,
что можно обосновать с помощью подходящего упорядочивания квантовых
операторов ф*, ф. После этого энергия связи п частиц будет равна
И З. Приложения к задаче квантования
377
Интригующее совпадение вкладов непрерывного спектра и солитонных
переменных при п = 1 до сих пор полностью не понято. По-видимому, это
может быть прояснено при правильном описании топологии фазового
пространства в терминах переменных действие - угол. Так,
взаимозаменяемость солитонных и непрерывных переменных можно было бы
получить, если рассматривать большое количество нулей с малой мнимой
частью, т. е. близких к непрерывному спектру.
Обычно спектр оператора Й исследуется в представлении, в котором
операторы ф* (х), ф(х) имеют следующие коммутационные соотношения:
[Ф*(*)> Ф(*)]=М*-0)
(постоянная Планка Й здесь положена равной 1).
Операторы
^ ф ф dx\ Н - ^ (ф*ф* - ф ф фф) dx
коммутируют, и спектр Й состоит из положительных целых чисел. На
подпространстве с данным собственным числом N = М оператор Й является М-
частичным оператором Шрёдингера
