Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Буллафа Р. -> "Солитоны" -> 144

Солитоны - Буллафа Р.

Буллафа Р., Кодри Ф. Солитоны — М.: Мир, 1983. — 408 c.
Скачать (прямая ссылка): solitoni1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 156 >> Следующая

пример "операторной демократии", т. е. принципиальной эквивалентности
различных операторных формулировок одной и той же физической сущности.
Хотя то или иное представление может сделать какой-либо сорт частиц более
выделенным и изменить вид нелинейных членов, но вид спектра и 5-матрицы
не зависит от представления и, таким образом, предпочтительного
представления не существует. Для построения решения (12.1) важно явно
определить фермионную природу спиновых операторов. Это можно сделать с
помощью преобразования Йордана - Вигнера. Введем фермионный оператор на
узле / с антикоммутатором [а/, ар]+ =б//'> тогда спиновая алгебра
реализуется с помощью соотношений
SJ =а]ехр^гя Е/гА^, (12.3а)
S7 = (Sj)\ (12.3b)
S^ajai-j- (12.3с)
Операторы рождения и уничтожения определяются следующим
образом: S±=Sx±iSy, nk = atak¦ Подставляя выражения
(12.3а-12.3) в (12.1), получим гамильтониан ферми-газа на решетке. Он
описывает частицы, которые перескакивают с узла на узел, взаимодействуют
друг с другом, если находятся на соседних узлах, и вообще их поведение не
согласуется с интуитивным представлением о поведении системы, описываемой
гамильтонианом со спином 1/2. С помощью фермиевских операторов ау
гамильтониан (12.1) может быть записан в нескольких эквивалентных формах,
причем оказывается, что представление, получающееся после подстановки
(12.3) в (12.1), не удобно. Лучшая форма получается, если вслед за этой
подстановкой сделать калибровочное преобразование aj-^-(i)'aj, после чего
(12.1) записывается в виде
Я=Е ЯДЛ-р/г/, (12.4)
/-I
где
Hs(j) = ~jV \a]aj+1 - a/+ia/] +
+ -j/j_(- l/fa/ay+i +Я;Я/+1] - Jztijtit+i. (12.5)
Здесь 2V = Jx + Jy, 2/j. = }X - Jy, а p. - химический потенциал,
равный Jz. Из представления (12.5) ясно, что химический потен-
циал связан с внешним полем. ЕсЛи в основном состоянии намагниченность
равна нулю, то из (12.3) следует, что число фер-
12.2. Квантование и квантовые солитоны
385
ми-частиц в основном состоянии равно N/2. Это случай полуза-полненной
зоны. Если среднее значение, соответствующее основному состоянию,
вычитается из п;, то химический потенциал исключается. Ненулевое значение
намагниченности, как и внешнее поле, сдвигает число заполнения
относительно значения, соответствующего полузаполненной зоне.
Необходимо отделить узлы решетки, имеющие четные номера, от нечетных, так
как фермиевские поля имеют две компоненты, представляемые таким образом.
Операторы на соседних узлах решетки могут сильно отличаться, но внутри
четной и нечетной подрешеток они меняются слабо. Это можно показать с
помощью уравнений движения для компонент фермиевских полей на
подрешетках. Уравнения движения имеют вид ш, - = [ah Н], т. е.
idj - -| V (а/+1 - a/-i) + у/х(- +
+ Jza/ (nj+] + (12.6)
причем все операторы зависят от-времени. Видно, что уравнения движения
для оператора четного узла зацеплены с уравнениями движения для оператора
нечетного узла, и поэтому предположение о том, что поля мало меняются на
расстояниях порядка постоянной решетки, фактически требуется только для
каждой компоненты по отдельности.
Здесь в фермиевской задаче нет длины, только индекс, характеризующий
положение вдоль цепи. В непрерывной теории поля длина входит, например, в
дельта-функцию, характеризующую антикоммутационные соотношения. Длина
конструируется из расстояния между узлами решетки s и связана с длиной
одномерной цепи соотношением L = sN. Переход к непрерывному пределу
состоит в устремлении s к нулю при постоянной длине цепи. Требуется
также, чтобы гамильтониан сохранялся при переходе к непрерывному пределу,
например, чтобы
N L
^Н*И) = \ёхНс(х), или Hc(x)-+s~lHs(j), (12.7) 1=1 о
где непрерывная координата определяется с помощью соотношения x/L = j/N.
Дополнительный множитель s вводит длину в гамильтониан, и теперь
необходимо проверить полевые операторы. Если двухкомпонентное спинорное
поле определяется выражением
для четного /, то антикоммутатор полного спинорного поля есть [ф(х),
ф+(*0]+==5~'б/Т-*6(*-*'), (12.#)
386
12. Квантовые солитоны в статистической физике
что представляет собой рецепт получения дельта-функции непрерывного
предела исходя из дискретной задачи.
Переход к непрерывному пределу для операторных уравнений движения можно
осуществить, просто рассматривая конечную разность в правой части (12.6)
как производную, что приводит (с использованием обозначения дх для д/дх)
к выражениям
ipu(x)=; -Vdx$i(x) -s~'j±$t(x) + 4/2ф"(х)pi(x), /j2 j0) Ф/ (X) = - Vdxtyu
(х) + S_'/хФи (*) + 4/гФ/ (х) ри (х),
где Pu (х) = ф? (х) фи (х) И Pi (х) - Ф/+ (х) Ф/ (х) суть ПЛОТНОСТИ
фермионов; эти выражения можно упростить, выразив уравнения движения
через новые поля, определяемые линейными комбинациями V2 Ф1 = Фи + Ф/ н
У^Фг^Фи- Ф/- В результате получим
- ^, = 0(3^, +"_1УхФ2 + 4Угф(р2, (1211)
ф2 = vdxilp2 - ""'/хф! - 4Угф2р(,
где v есть перенормированная скорость, s~4х оказывается массой, а
пространственную зависимость еще предстоит расшифровать.
Предыдущая << 1 .. 138 139 140 141 142 143 < 144 > 145 146 147 148 149 150 .. 156 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed