Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
11.27. Rajaraman R. - Phys. Reports 21C, 229 (1975).
11.28. Faddeev L. D.: препринт: Institute tor Advanced Study, Princeton
(1975).
11.29. Faddeev L. D., Korepin V. E. - Phys. Rep. 42C, 1 (1978).
12. КВАНТОВЫЕ СОЛИТОНЫ
В СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
А. Лютер
Квантовые солитоны участвуют во многих одномерных моделях теории поля,
статистической механики и физики твердого тела. В главе дается обзор
связей между этими моделями: их формулировкой и операторами,
фигурирующими в моделях. Общей основой описания является квантовое СГ-
уравнение, которое сводится к решаемой форме. Обсуждается решение для
спектра собственных значений, подчеркивается эквивалентность солитонов,
спиновых волн и частиц. Для объяснения этой эквивалентности предлагается
принцип универсальности или "операторной демократии".
12.1. Предварительные замечания
Одномерная задача о взаимодействующих скалярных фер-мионах сыграла
основную роль в недавних успехах теоретической физики. Это не только
центральная задача для различных полей, но она также входит
конструктивным элементом в более сложные модели. Проблема имеет много
разных названий. С параметрами, инвариантными относительно преобразований
Лоренца, она известна под названием массивной модели Тирринга [12.1].
Если привести ее к виду, согласующемуся с теорией фер-ми-жидкости, то
получим (массивную) модель Латтинджера [12.2]. На решетке она называется
ATZ-моделью со спином 1/2 (см.
[12.3], [12.4]. С помощью трансфер-матрицы она может быть связана с
двумерной моделью Изинга и восьмивершинной моделью [12.3]. По сути дела
все перечисленные модели эквивалентны квантовому СГ-уравнению [12.5],
прототипом которого является одномерное нелинейное уравнение, и квантовые
солитоны- просто другое название для фермионов или спиновых волн. Все эти
модели связаны с одной хорошо известной моделью статистической механики,
а именно с восьмивершинной моделью [12.3]. Точное вычисление спектра
собственных значений в ATZ-модели со спином 1/2 было сделано Джонсоном,
Кринскнм и Маккоем [12.4] с помощью обобщения методов, развитых Бакстером
для восьмивершинной модели [12.3]. Имеются простые физические идеи,
которые связывают континуальные теории поля с дискретной цепочкой спинов
[12.6]. Целью настоящей главы является рассмотрение некоторых из этих
моде-
12.1. Предварительные замечания
381
лей, связей между ними и вычисление спектров их собственных значений.
Здесь невозможно обсудить все модели достаточно глубоко. Хотя по
некоторым из них существует литература, адекватно отражающая положение
дел ([12.1], [12.2]), часть материала еще должна быть обдумана и понята.
Действительно, нужно еще многое сделать. Например, хорошо понят
одночастичный спектр в задаче о массивных фермионах, но еще очень мало
результатов по корреляционным функциям. Остаются также технические
трудности в установлении связей между различными моделями в некоторых
областях значений параметров [12.7].
Существенный интерес представляют недавние предложения, касающиеся S-
матрицы [12.8] в задаче о массивных фермионах. Ее расчет на основании
микроскопической модели несомненно стал бы огромным достижением.
Очевидно, что эти области привлекут большое внимание, а успехи в решении
задачи о спектрах собственных значений внушают надежды на полное решение
задачи в недалеком будущем.
Цель данной работы состоит в том, чтобы указать связь между одномерной
фермионной задачей и ATZ-моделью со спином 1/2 для цепочки спинов и из
спектра последней получить спектр фермионов. Полное математическое
обсуждение связей между различными моделями не может быть здесь
представлено, но приводятся эвристические соображения, которые могут
открыть полезную перспективу. Даже если ограничиться областью квантовых
солитонов, то здесь уже имеется обширная литература, часть которой
приведена в гл. 1. Канонический формализм в классическом случае
описывается Фаддеевым в гл. 11. Полуклассическое квантование рассмотрено
в работе [12.9] Фад-деева и Корепина. Они подчеркивают, что квантовые
солитоны получаются при квантовании переменных действие - угол.
Прекрасным примером является СГ-уравнение (изучавшееся также Буллафом и
Доддом [12.10]) и нелинейное уравнение Шрёдингера (оно рассматривалось
также Каупом). Мы здесь не касаемся канонической формулировки теории поля
и не пытаемся связать методы теории поля, основанные на каноническом
формализме, с методами статистической механики. Мы ограничиваемся только
замечаниями о том, что ответы одинаковы там, где их можно сравнивать.
Из обширной литературы по статистической механике ниже обсуждаются только
работы, имеющие прямое отношение к теме данной главы, т. е. посвященные
вычислению спектров. Работы, касающиеся применений к физическим системам
в области фазовых переходов, квазиодномерных проводников и одномерных
магнитных цепочек, не рассматриваются.
Даже в оставшейся узкой области невозможно сделать адекватный обзор, не
обременяя читателя массой технических деталей
