Солитоны - Буллафа Р.
Скачать (прямая ссылка):
Ниже мы приводим соотношения для параметра 0 в трех моделях,
представляющих для нас интерес:
спиновая цепочка [12.4] 0=1 - я-1 cos-1 (- JJv),
модель Тирринга [12.5] 0 = -^(1 +g/ji)-1,
модель Латтинджера [12.6] 0 = у(1 + п),/2(1 - v)~l/2,
где символы для соответствующих моделей определяются согласно
обозначениям цитированных работ. Во всех непрерывных случаях
перенормированная скорость приравнена единице, что является тривиальным
выбором масштаба. Наконец, параметр а не уточняется, поскольку он входит
лишь в качестве параметра перенормировки и не присутствует в конечном
"физическом" выражении. Этот параметр может быть выбран равным постоянной
решетки.
396
12. Квантовые солитоны в статистической физике
12.4. Спектр собственных значений
В предыдущем разделе были получены уравнения движения для непрерывной
модели взаимодействующих массивных фер-мионов в одномерном пространстве,
а в разд. 12.2 обсуждалась формулировка задачи на решетке в терминах
квантового оператора спина, с теми же самыми уравнениями движения в
пределе малой постоянной решетки. В настоящем разделе мы подытожим
решения задачи на решетке, выполним требуемую процедуру предельного
перехода к малой постоянной решетки и построим спектр собственных
значений для непрерывного предела.
Спектр собственных значений гамильтониана (12.1) характеризуется
одночастичными состояниями и связанными состояниями. В спиновой
интерпретации одночастичное состояние- это спиновая волна, в бозонной -
это солитон, и, наконец, в остающемся представлении - это фермион.
Связанные состояния всегда строятся из этих фундаментальных объектов (или
их античастиц). Спектр определяется массой частицы, энергией связи и
числом связанных состояний. В собственно непрерывном пределе, когда
постоянная решетки принимается равной нулю, спектр лоренц-инвариантен и
получается в результате суперпозиции невзаимодействующих частиц со
спектром
где соответствует подходящей массе, вообще говоря, отличной от голой
массы т0 предыдущего раздела, а п - индекс, соответствующий
рассматриваемой частице, свободной или связанной.
Спектр принимает такой вид благодаря существованию бесконечного набора
законов сохранения для задачи спиновой цепочки [12.12]. Эти законы
сохранения запрещают порождение частиц или уничтожение связанных
состояний. И наоборот, из формы спектра собственных значений (12.3),
соответствующего набору абсолютно стабильных частиц, необходимо вытекает
существование подобных законов сохранения.
Определение масс требует интерпретации перехода к непрерывному пределу и
правильной перенормировки параметров решетки, /а, в (12.1). После того
как в это уравнение введена единица длины, что приводит к (12.10),
несложно убедиться н том, что в пределе s-"-0 с необходимостью а это
уже
почти изотропная спиновая задача /i < К. В таком пределе спектр
собственных значений спиновой цепочки сильно упрощается. Значение
фундаментальной массы в задаче имеет вид
Д*(А0 = А" + *2.
(12.38)
(12.39)
12.4. Спектр собственных значений
397
где p=arccos(-J2/V), другие же параметры определены в разд. 12.2.
Построение непрерывного предела налагает требование, согласно (12.7),
чтобы V-*-V/s. Множители s сокращаются в процессе предельного перехода; в
результате поведение массы описывается соотношением
A-s-1/]^ (12.40)
и для того, чтобы получить конечное значение щели в пределе s->-0,
следует выбрать /±=/±s2uM, где ]\ - константа, не зависящая от s при s-
>0. Таким образом, на массу налагается требование конечности. Очевидно,
что подобная процедура позволяет определить зависимость величины щели от
"голых" обменных параметров, А ~ J7]12*1, но не коэффициент
пропорциональности.
Без сомнения, приведенное соотношение определяет показатель экспоненты,
но не окончательное выражение для массы. Такое выражение должно зависеть
от модели, а также от многих других параметров, которые могут даже не
входить в полевые уравнения в непрерывном пределе, но останутся скрытым
образом в обозначениях. Это выражение не может быть универсальным.
Однако отношение массы частицы в связанном состоянии к А имеет интересное
свойство: в него не входит одночастичная масса. В пределе малых формула
для массы имеет вид
A" = 2Asin(-^14?), (12.41)
где 0=1 - p/я. Параметр 0 содержит зависимость от продольной компоненты
обмена, Jz, через параметр р. Для таких значений этого параметра, при
которых 0-1 - 1 больше единицы, любое целое п является решением, и
отношение масс зависит только от одного параметра. Спектр вида (12.41)
был впервые получен для СГ-уравнения Тахтаджяном и Фаддеевым [12.13], а
также Дашеном и др. [12.14], с использованием полуклассиче-ского подхода,
и приводится в гл. 1, уравнение (1.105). Вывод спектра на основании
решеточной модели устанавливает не только точность этого выражения для
спектра, но и наводит на мысль об его универсальности. Универсальность в
таком контексте подразумевает, что отношение масс связанной и свободной
