Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
При ао < 1 вектор рА времениподобен. Тогда вектор kA из уравнения (13.4.1.5) оказывается пространственноподобным. Все d—1 направления вектора kA существенны для этих массивных состояний; следовательно, значение ао = 1 является критическим (допустимым) с особыми свойствами.
Почему d = 26? Чтобы понять, что нарушается при d > 26, рассмотрим состояния второго уровня (см. работу [38]):
\k) = kAa$* [О, р) + 1тАВа?*а?*\0, р), (13.4.1.7)
где тАв — гпвА — симметричная матрица dy^d. Норма этих состояний задается выражением
{k\k) = k*AkA + \ тАВтАВ. (13.4.1.8)
Условия Вирасоро накладывают на рА ограничение
а'рАрА + 2 —<Хо = 0 (13.4.1.9)
и, кроме того, приводят к соотношениям
kA — imABpB л/а', (13.4.1.10а)
— i д/а7РлкА —j тАА = 0. (13.4.1.106)
Если мы примем, что ао ^ 1, то вектор рА будет временипо-добным, и можно выбрать его в виде рА=(р, 0,0, ..., 0), где
а'р2 = 2 —а0. (13.4.1.11)
Уравнения (13.4.1.10) могут быть разрешены относительно kA и moo как функций независимых компонент тоа и таъ мат-
Квантование струны Намбу — Гото
193
рицы тАВ:
/— im^pM а
k0 = im00p Va = (13.4.1.12а)
ka = imMp л/а', (13.4.1.126)
rtia
тт ¦ - -4--2~/й+ f • (13.4.1.12в)
Эти последние соотношения позволяют представить скалярное произведение (k\k) в виде
(k\k)= («о ~ i) + (1 ~ ао) I отоа |2 + Т^>а6-
(13.4.1.13)
Член с т0а неотрицателен, если а0^1, что мы как раз и предполагаем. Единственный отрицательный вклад может происходить от ненулевого следа таа• Если принять, что
mab = ~jITT тсс8аЬ, (13.4.1.14)
то выражение (13.4.1.13) принимает вид
<*'*>= сЙЫО- - 4) + У(зЬт <9 - 4°4 <13-4'1Л5>
Это выражение положительно, если
a°~l+ 2 (d —~ ~ 4а°-*2 ^ (13.4.1.16)
т. е.
,, 37 — d — V(rf — 25) (d — 1)
-о 16
ИЛИ
« 1) (13.4.1.17а)
а0> ——rf + V(^ 25) (d----------1); (13.4.1.176)
если d > 25. (Для d ^ 25 выражение (13.4.1.16) всегда положительно.)
Детальный анализ показывает, что первая возможность (13.4.1.17а) неприемлема, поскольку ведет к состояниям с отрицательной нормой на высших уровнях N>2 [37]. Таким образом, остается только возможность (13.4.1.176).
Функция (13.4.1.176) возрастает с ростом d и принимает максимально допустимое значение ао = 1 при критической размерности d = 26. Если d > 26, то ао, задаваемая выражением: (13.4.1.176), оказывается больше единицы.
194
Глава 13
Другими словами, если положить ао=1, то выражение (13.4.1.16) оказывается отрицательным при d > 26 и в физическом подпространстве присутствуют состояния с отрицательной нормой. Эти состояния с отрицательной нормой становятся нулевыми состояниями, отщепляющимися от всех остальных физических состояний в d = 26 измерениях (выражение (13.4.1.16) равно нулю)1), и состояниями с положительной нормой в d <с 26 измерениях. Таким образом, значение 26 возникает как критическая размерность.
Максимальное число отщепляемых нулевых состояний появляется при критических значениях ао = 1 и d = 26. Оказывается, что размерность эффективного физического подпространства, отвечающего второму массовому уровню, равна 25 + 26Х X 25/2 (число независимых компонент глав) —25—1 (числа отщепляемых состояний). Это число также равно 24+25X24/2, т. е. числу состояний в калибровке светового конуса, соответствующих второму массовому уровню (а*‘ | 0) и а\1а[* | 0)).
Упражнение. Исследуйте физическое подпространство третьего массового уровня.
13.4.2. Вершинный оператор
В ковариантном формализме фундаментальную роль играют следующие две операторные функции [10, 38, 39]:
QA (0) = Х* + 2а'рАв + ]Г (а^ехр — ш0 + af exp m0)(
n>1 (13.4.2.1)
Рл (0) = -±r IjQ- = Рл + ^ Vп{ — uin exp — inB + ian‘ exp inB).
»>> (13.4.2.2)
Эти операторы часто представляют как функции комплексной переменной z = expt'0.
Функция Q4(0) соответствует положению конечной точки струны а = 0 в момент “времени” 0 в конформной калибровке; функция Рл(0) — двумерная изотропная компонента тока пространственно-временных трансляций fA(0). Выше мы уже встречались с этими функциями (например, отмечалось, что движение конечной точки ст = 0 полностью определяет классическую исто-
