Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
') В отсутствие состояний с отрицательной нормой состояния с нулевой нормой с необходимостью отщепляются, т. е. имеют нулевые скалярные произведения со всеми остальными физическими состояниями (в противном случае можно построить состояния с отрицательной нормой).
Квантование струны Намбу — Гото 195
рию струны; величина Рл(0) связывалась с алгеброй Каца — Муди).
Операторы Q4(0) и Рл(0) удовлетворяют соотношениям
[Lm, QA (0)] = — ieimQ , (13.4.2.3a)
[Lm, PA (0)] = e"»e (- i + m) PA (0). (13.4.2.36)
Говорят, что Q4(0) имеет конформный спин нуль, а Рл(0)— конформный спин единица. В более общем виде любой операторной функции Х(0), такой, что
[Lm, X(Q)] = etm*(-i-l + mj)x(Q), (13.4.2.4)
говорят, что она имеет конформный спин J.
Упражнение. Проверьте систему уравнений (13.4.2.3).
Скалярный вершинный оператор определяется выражением
V0 (k, 0) = :ехр ikAQA (0):, (13.4.2.5)
где : : обозначает нормальное упорядочение, необходимое
здесь, поскольку оператор ikAQA (0) плохо определен, за исключением случая k2 = 0, когда нормальный порядок излишен. Легко получить
V0 (k, 0) = exp (/0Z,O) K0 (k) exp (— iQL0), (13.4.2.6a)
где
Vn (k) = exp [ikA V2n~la'a,nA^ X
X exp (ikAXA)exp (ikA ? -\/2n~WaA ). (13.4.2.66)
V n—i /
Хотя Q4(0) имеет конформный спин нуль, Vo(k, 0) не обладает нулевым конформным спином благодаря нормальному упорядочению выражения (13.4.2.5). Вместо этого имеем
[Ln, VQ(k, 0)] = ?<ra0 ( — i + шх'62) Vо (k, 0), (13.4.2.7)
т. e. Vo(k, 0) имеет конформный спин a'k2.
Поперечный векторный вершинный оператор Ул(&, 0), где k — изотропный вектор, задается выражением
e*VA (к, 0) = гАРА (Q) exp ikBQB (0), k2 = 0. (13.4.2.8)
Здесь вектор поляризации е4 поперечен (елАл =0).
196
Глава 13
Поперечность приводит к коммутативности величин е4Рд(0) и kBQB(Q) '¦
[kBQB (0), еаРа (0)] = 4nia'kAeA6 (0, 0') = (13.4.2.9а)
= 0, (13.4.2.96)
в то время как условие k2 = 0 делает излишним нормальное упорядочение экспоненты. Следовательно, конформный спин поперечного векторного оператора равен единице:
[Lm,-*AVA(k, Щ\^е^[-1~ + т)гАУА(к, 0); (13.4.2.10)
величина eAVA(k, 0) может быть расширена до полного векторного вершинного оператора, но здесь это не понадобится (см., например, [38]).
Вершинные операторы существенны при обсуждении взаимодействий в теории струн. Но поскольку исследование взаимодействий выходит за рамки данного обзора, мы интересуемся вершинным оператором в другом контексте: поперечный вершинный оператор может использоваться для построения явно положительно нормируемых состояний Дель Гьюдиса, Ди Вег-гиа и Фубини (ДДФ), которые полностью покрывают физическое подпространство, если не считать нулевых состояний.
13.4.3. Состояния ДДФ
Мы ожидаем, что при d — 26 и а0 = 1 физическое пространство изоморфно пространству поперечных возбуждений, не считая нулевых состояний, которые могут быть отфакторизованы. Для первых двух уровней мы проверили это свойство явно в разд. 13.4.1.
Чтобы доказать это свойство для всех уровней, необходимо уточнить, что понимается под термином “поперечные состояния” в ковариантном формализме. В калибровке светового конуса поперечные состояния — это просто состояния, порождаемые поперечными осцилляторами а1п. В данном же случае это определение не может быть принято, поскольку операторы а1п не коммутируют с операторами Вирасоро:
К*. Lm\ 0 (13.4.3.1)
и, следовательно, даже не рождают из вакуума физических состояний. В частности, оператор а*‘ увеличивает номер уровня на п единиц, но при этом не изменяет d-импульс, так, что состояние остается на массовой поверхности рл] = 0).
Квантование струны Намбу — Гото
197
Необходимо определить операторы Ah, которые коммутируют С Lm-
[К> 1т]=Ъ, (13.4.3.2)
и в калибровке светового конуса сводятся классически к операторам а1п\
К*ап + КтГ.т’ (13.4.3.3)
так что они могут быть названы “поперечными”. Здесь %т — калибровочные условия светового конуса.
Общее свойство гамильтоновых систем первого рода со связями состоит в том, что подобная проблема всегда имеет решение, по крайней мере тогда, когда равенство в (13.4.3.2) заменяется “слабым” равенством (равенством на связях Lm = 0).
Вместо того, чтобы использовать стандартные методы нахождения этого решения, Дель Гьюдис и др. [40] построили операторы Ah с помощью векторного вершинного оператора. Их конструкция основана на том факте, что операторная функция еАУл(к, 0) периодична по 0 с периодом 2л, если рассматриваются лишь состояния с импульсом рА, удовлетворяющим соотношению
