Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
2а'?4 • = целому числу. (13.4.3.4)
При выполнении этого условия оказывается, что
г 2л -I 2п
\Lm, J eWA(k, 0)rf0 =-/ 5 А) = 0, (13.4.3.5)
L о Jo
поскольку Vа имеет конформный спин 1.
Выберем основное состояние 10, р0), cl-импульс которого удовлетворяет условию массовой поверхности
а'РоРоА=1 (13.4.3.6)
с рА фиксированным раз и навсегда.
Чтобы удовлетворить условию (13.4.3.4), выберем далее, снова раз и навсегда, изотропный вектор k0, для которого выполняются условия
k$kOA = 0, 2a'kAp0A = 1. (13.4.3.7)
Для заданных р0 и ko допустимы лишь значения вектора k, пропорциональные k0:
kA = nkt (13.4.3.8)
Например^____если выбрать р$ = (0, 0, 0, l/Va0 и kA =
= (-l/V2a', 0, 0, ..., 1/2Va'), то поперечный вектор еА
198 Глава 13
принимает вид (0, е„0). Заметим, что другой выбор k нарушает явную лоренцеву инвариантность.
Из условия (13.4.3.5) следует, что операторы
2л
Am = ^ Vi 0) dQ ^ (13.4.3.9)
О
2л
Pi (0) exp —Щ=г Q+ (б) dQ (13.4.3.10)
V 2а'
коммутируют с Lm при любых п. Это и есть операторы ДДФ.
Если в классическом аналоге оператора (13.4.3.10) положить а+= 0 (световое калибровочное условие)1), то получим
Q+ (0) = д/2сР0, (13.4.3.11а)
Ani = д/nani. (13.4.3.116)
Величины Ащ удовлетворяют соотношению (13.4.3.3) (с точностью до множителя V«)•
Легко проверить, что
А;< = А_пГ (13.4.3.12)
Можно также вывести коммутационные соотношения (см., например, [38])
[А]п, Ajn\ = т6и6т, -п, (13.4.3.13)
откуда следует, что 24 поперечных оператора “рождения” А‘п (п > 0) генерируют положительно определенное гильбертово подпространство. Это подпространство изоморфно гильбертову пространству, возникающему при квантовании в световой калибровке.
Упражнение. Вычислите \РА, и проверьте явно, что А1п рождает состояния на массовой поверхности (при действии на такие состояния).
13.4.4. Теорема об отсутствии духов при d = 26 и а0 = 1
При действии операторов Ап на вакуум возникают состояния ДДФ. Они удовлетворяют уравнениям
___________ /С„Ц>) = 0, я > 0, (13.4.4.1)
‘) Условие а* = 0 не может рассматриваться как операторное уравнение в ковариантном формализме. Поэтому мы и вернулись к классической теории.
Квантование струны Намбу — Гото
199
вместе с условиями на физические состояния
LJt> = 0, п> 0, (13.4.4.2)
(/.„— 1)| -ф> = 0. (13.4.4.3)
Оператор Кп в уравнении (13.4.4.1) является изотропным:
Kn = kAan=OLn {an = л!паА и т. д.). (13.4.4.4)
Свойство (13.4.4.1) просто следует из того факта, что состояния ДДФ не содержат осцилляторов ctn и ".
Операторы Кп обладают следующими свойствами:
[*т> *„]=<>. [^т,Кп\ = -пКт+п. (13.4.4.5)
Можно показать обратное: уравнения (13.4.4.1) — (13.4.4.3) полностью характеризуют состояния ДДФ — любое решение этих уравнений есть линейная комбинация состояний вида
W)v'W’r---№)v“i0>i18i-
Иногда удобно рассматривать не только состояния на массовой поверхности, но также состояния, лежащие вне массовой поверхности “на расстоянии”, равном целому числу:
(L0 + /—1) |</>) = О, где / — целое число. (13.4.4.6)
Такие состояния могут быть получены действием ДДФ-опера-торов на такое основное состояние, которое не удовлетворяет условию (L0—1) j0) = 0, а вместо этого имеет импульс, равный
Р% + nk*, (13.4.4.7)
где /г — целое число.
Впоследствии мы будем рассматривать лишь состояния с импульсом, определяемым выражением (13.4.4.7) при некотором п. Эти состояния удовлетворяют условию (13.4.4.6). Легко видеть, что при действии операторов ДДФ, операторов Вирасоро или операторов Кп на состояние (13.4.4.7) мы не выходим за рамки класса, определяемого системой (13.4.4.7) и (13.4.4.6). Кроме того, импульс любого решения уравнения (13.4.4.6) при / ^ 1 путем соответствующего преобразования Лоренца может быть представлен в виде (13.4.4.7) сл<0.
Операторы ДДФ являются подходящим расширением поперечных осцилляторов а1п. Операторы Кп в точности совпадают с изотропными осцилляторами а+. Кроме того, поскольку p-k-вектор рл содержит компоненту вдоль направления, противоположного изотропному, а это означает, что в первый член Ln входит а~.
