Принципы теории струн - Бринк Л.
Скачать (прямая ссылка):
200
Глава 13
Таким образом, не удивительно, что состояния, рождаемые из вакуума операторами А1р, К-п и L_m (п, т, р> 0), полностью покрывают гильбертово пространство.
Лемма [18]. Любое состояние с импульсом (13.4.4.7) может быть представлено как линейная комбинация состояний вида
L\L\.. ¦ • -*-?l d\ (13.4.4.8)
где | d} — состояние, рождаемое операторами ДДФ из вакуума с импульсом (13.4.4.7) (возможно, с другим п).
Доказательство [)§]. Из вычислительных соображений доказательство состоит в установлении линейной независимости состояний (13.4.4.8).
Нулевое фиктивное состояние по определению есть физическое состояние, ортогональное всем другим физическим состояниям и, в частности, самому себе. Мы обнаружили такие состояния на первых двух уровнях (для d = 26 и а0=1). Как показывает теорема об отсутствии духов, они появляются на всех уровнях.
Теорема об отсутствии духов (а0 = I, d — 26) [18]. Любое физическое состояние |г|)>, являющееся решением уравнений ?п|ф>=0 (п>0) и (Lo—1) | if) = 0, может быть представлено в виде
\ti) = \f) + \ns), (13.4.4.9)
где |f> принадлежит пространству, покрываемому ДДФ-состоя-ниями, a |ns) — нулевое фиктивное состояние.
Доказательство. Предыдущая лемма позволяет записать
\^) = \f) + \s), (13.4.4.10)
где |фУ — состояние (13.4.4.8) с Xi = Х2 = ... =Хп = 0 (входят только операторы если вообще входят), a |s> — состояние
(13.4.4.8) по крайней мере с одним L_n. Поскольку (L0—
— 1)|'ф> = 0, оба состояния |фу и |s>, являющиеся независимыми, принадлежат массовой поверхности.
Ключевой момент доказательства состоит в том, чтобы показать, что |</>> и |s> — физические состояния:
Ln\ф) = 0 = Ln\s), п> 0. (13.4.4.11)
Величины Ln с положительными п генерируются из L\ и L2y поэтому достаточно показать, что Li |^>) = L2|^> = Li |s> == = L21 s) = 0, или, что то же самое, Li | фу = Е21 ФУ = L\ | s> =
Квантование струны Намбу — Гото
201
= L2|s> =0. Здесь L2 определяется выражением
L2 = L2 +-§¦??. (13.4.4.12)
По построению имеем
I s) = | s0) + L_21 5_!>, (13.4.4.13)
поскольку L-n (n^z 1) генерируются из L_i и L_2. Кроме того, из алгебры Ln следует, что
•^oiso)==Oi ^ols-i)= I s-i)- (13.4.4.14)
Отсюда получаем
Ll\s) = \s'), (13.4.4.15а)
Z2|s)=lO+(yrf- 13)|s_i), (13.4.4.156)
где | s') и |s">— состояния вида (13.4.4.8) по крайней мере с одним L-n- (Например, | s') = L_iLi |s0> + L_2Li |s_,>.) Для d = 26 второй член в правой части уравнения (13.4.4.156) исчезает, и L2 s> сводится к |s">.
Но L\ ф} и L2\ф) — состояния вида (13.4.4.8) вообще без L-n. Действительно, L\ и L2 можно перемещать вправо от операторов К-т в выражении для |ф), не порождая при этом L-n([Ln, Кт] ~ Кп+т) до тех пор, пока Li и Ь2 не достигнут состояния | d} и не уничтожат его.
Из этого замечания и линейной независимости состояний
(13.4.4.8) с различными степенными показателями следует, что Li|s> и L\\фу линейно независимы, как и L2|s) и Г2|фу. Однако, поскольку L\ | ф) = L21 г|з)= 0, из уравнения (13.4.4.10) следует, что |фу и |s> удовлетворяют тем же уравнениям. Отсюда вытекает соотношение (13.4.4.11).
Зная теперь, что \фУ и |s> являются физическими состояниями, легко непосредственно довести до конца доказательство теоремы. Состояние \фу удовлетворяет соотношению Кп\фУ=0, поскольку операторы Кп коммутируют. Следовательно, оно является состоянием ДДФ, поскольку последние полностью характеризуются уравнениями (13.4.4.1), (13.4.4.2) и (13.4.4.3) [18]. (Иными словами, в выражении (13.4.4.8) для |фу все ц,-и %i равны нулю.) Кроме того, вследствие уравнения (13.4.4.13) состояние |s> является физическим состоянием, которое отщепляется от всех физических состояний:
(s0\L-i I-ф) = <s01 Li\ Ф> = 0 и т. д.;
следовательно, оно действительно является нулевым фиктивным состоянием.
202
Глава 13
Поскольку подпространство ДДФ обладает положительна определенным внутренним произведением, из этой теоремы следует, что <-ф | oJj) ^ 0.
Упражнение. Докажите соотношения (13.4.4.15а) и (13.4.4.156).
13.4.5. Квантовая калибровочная инвариантность
Теорема об отсутствии духов устанавливает, что фактор-про-странство физического подпространства по нулевым фиктивным состояниям изоморфно гильбертову пространству, содержащему только поперечные возбуждения. Следовательно, метод калибровки светового конуса и ковариантный метод эквивалентны.
Дополнение физических состояний нулевыми фиктивными состояниями есть квантовый аналог калибровочной инвариантности классической теории. Оно подразумевает возможность полной формулировки квантовой теории в терминах одних лишь состояний ДДФ, или, что эквивалентно с точки зрения изоморфизма между состояниями ДДФ и состояниями метода световой калибровки, возможность наложения калибровки светового конуса квантовомеханически.