Акустика слоистых сред - Бреховских Л.М.
ISBN 5-02-014155-0
Скачать (прямая ссылка):
ценность. В этом параграфе мы будем рассматривать волны с гармонической
зависимостью от горизонтальных координат и времени. В областях, где среда
однородна, поле вырождается в одну или две (встречные) плоские волны. Для
этого круга задач лучевой подход совпадает с приближением ВКБ.
Аналогичные вопросы в случае точечного источника звука рассматриваются в
гл. 4.
Современное понимание лучевого подхода как приближенного метода волновой
теории берет начало с работ Дебая [111], Соболева [238] и Ры-това [225,
226]. Основные идеи метода ВКБ восходят к Лиувиллю и Грину. В развитие
этого подхода значительный вклад внесли Венцель, Крамере, Бриллюэн, чьи
имена дали название методу, а также Рэлей, Джеффрис и другие.
Наше изложение геометрической акустики и метода ВКБ не претендует на
полноту и математическую строгость. Читателю, заинтересованному в них,
рекомендуем обратиться к монографиям [19, 192, 201, 258, 265, 267].
Последовательное изложение основ лучевого метода и его многочисленных
приложений к разнообразным физическим задачам, а также обширная
библиография содержатся в книге [151].
8.1. Приближение ВКБ и его физический смысл. Звуковое поле с
гармонической зависимостью ехр[г(?г - сof)], { = (?i. bi 0) от
горизонтальных координат и времени удовлетворяет волновому уравнению
(1.45). Плотность р, скорости звука с и течения v0 в среде будем считать
гладкими функциями z. Проекцию v0 на направление { обозначим u(z).
Выделим в (1.45) пропорциональный частоте волны множитель к0 = со/с0:
Здесь N играет роль эффективного показателя преломления
стратифицированной движущейся жидкости. Выразим N через в0 = arcsin
[?/^o(3(z0)]t
N2 = (ро/р02)2 ["2(З2 -(1 +u0c0l sin в0)~2 sin2 0О], я = c0/c(z),
(8.2)
Э2Ф/Э?2 + к1№Ф = 0, р = Ф(?)ехр[г(?г- сот)].
(8.1)
Z
0 = 1 - wsin 0о(со +и0 sin 0О)-1, ? = Ро1 / P&2dz.
za
(8.3)
11*
163
Здесь za - постоянная, Pq> с0, и0 - значения соответствующих величин на
произвольно выбранном горизонте z0. В дальнейшем мы увидим, что в о имеет
смысл угла падения волны при z = z0; N, f, (3 зависят от угла падения
волны, но не от ее частоты. При нормальном падении на среду с р = Ро
координата f = z - za, а эффективный показатель преломления N совпадает с
обычным показателем преломления п. Этот простой случай полезно иметь в
виду для понимания последующих результатов.
Звуковое поле зависит от частоты через безразмерный параметр k0L, где L -
характерный пространственный масштаб изменчивости среды. При L -*¦ °°
среда становится однородной, и решением (8.1) будут экспоненты ехр(±
ik0Nf). Поэтому высокочастотное решение уравнения (8.1) целесообразно
искать в виде
Ф = ехр(г&0 / qd$), (8.4)
где q -*¦ ±N при k0L -"¦ °°. Нижний предел интегрирования мы
не указываем, так как он повлиял бы только на нормировку Ф.
Подстановка (8.4)
в (8.1) приводит к уравнению Риккати:
q2 - N2 = iko1 dq/di;. (8.5)
Его решение будем искать в виде ряда по степеням малой величины
к<Г1 = c0/oj:
q = 2 У,Юко1. (8.6)
/ = о
Приравнивая в (8.5) коэффициенты при степенях ко 1, получаем
, ( idym - 1 ""- I \
у\ = W , Ут = (2^0) (-г-2 у1ут^1 ),
\ af г = I /
(8.7)
(8.8)
d a i = i
от= 1,2,3,...
Последовательно находим^
Уо = У1 = 4^Г(1п^).
2 а?
й . V V"1). Л---Р)
2 dY 2 dK\yo)
И т.д.
Отметим, что при вещественных N функции у2т вещественны и дают вклад в
фазу волны; функции у2т +1 чисто мнимы и определяют ее амплитуду. При JV
= ± *| TV | все ут принимают чисто мнимые значения. Ограничиваясь первыми
четырьмя членами ряда, из (8.6) и (8.8) получаем
S
Ф = N~ll2 exp [-е/2 ± ik0 f (1 + e)Ndt], (8.9)
где
d2(N~ll2)
е = {Ikly'N-*!2
164
= сIklNз/2)-1 [(N~ll2)"-(N~ll2)'(In рРУ), (8.10)
штрихами обозначены производные по z.
Обычно в качестве приближения ВКБ берется выражение (8.9), в котором е
считается равным нулю. т.е.
S
Ф = N~1l2exp(±ik0 f Nd$) =
= (Ро/Р/32)-1/2 [п202 -(1 +MoCo1sin0o)'2sin2 в0Г1/4 х
X exp [±ik0 f [п2 {? - (1 +UQC01 sin 0o)_2sin2 d0]l^2dz) . (8.11)
Отметим, что для построения и исследования высших приближений ВКБ для
уравнения (8.1) удобно использовать его связь с нелинейным
дифференциальным уравнением Милна (см. работу [416] и указанную в ней
литературу) и особенно связь с эквивалентным последнему линейным
дифференциальным уравнением третьего порядка [239].
Чтобы выражение (8.11), построенное на основе формул для у0 и уг
(8.8), давало решение, близкое к точному, должны быть малы вклады
последующих приближений у2 и у3 в амплитуду и фазу волны. Сравнивая (8.9)
и (8.11), получаем условия:
f.
е " 1, J'Gi.fc) = к0 f eNd$ < 1. (8.12)
^ 1
Первое из них накладывает ограничения на величины первой и второй
производных N по f. Во второе условие входит также интервал значений ?, в
котором можно пользоваться формулой (8.11). Если предположить f2 - - fi
l/Mfco.TO второе условие будет более жестким, чем первое. Пусть Nъ 1, (3
1. Тогда неравенства (8.12) можно записать следующим образом:
klL2 > 1,|z2 -zi I " k0L2. (8.13)
